Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15446 / 3156
↖ ↑ ↗
← N 73.503461°
E159.389649°		 ← 693.77 m → N 73.503461°
E159.411621°		 →
↑
693.93 m
↓
↑
693.93 m
↓
N 73.497220°
E159.389649°		 ← 694.02 m →
481 515 m²		 N 73.497220°
E159.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942779541015625 y=0.192657470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942779541015625 × 214)
    floor (0.942779541015625 × 16384)
    floor (15446.5)     		tx = 15446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192657470703125 × 214)
    floor (0.192657470703125 × 16384)
    floor (3156.5)     		ty = 3156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15446 / 3156 ti = "14/15446/3156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15446/3156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15446 ÷ 214
    15446 ÷ 16384     		x = 0.9427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3156 ÷ 214
    3156 ÷ 16384     		y = 0.192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9427490234375 × 2 - 1) × π
    0.885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78187416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192626953125 × 2 - 1) × π
    0.61474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93128181189282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78187416} λ = 2.78187416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93128181189282))-π/2
    2×atan(6.89834696004016)-π/2
    2×1.42683686325478-π/2
    2.85367372650956-1.57079632675     		φ = 1.28287740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78187416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.389649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28287740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.503461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15446 KachelY 3156 2.78187416 1.28287740 159.389649 73.503461
    Oben rechts KachelX + 1 15447 KachelY 3156 2.78225765 1.28287740 159.411621 73.503461
    Unten links KachelX 15446 KachelY + 1 3157 2.78187416 1.28276848 159.389649 73.497220
    Unten rechts KachelX + 1 15447 KachelY + 1 3157 2.78225765 1.28276848 159.411621 73.497220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28287740-1.28276848) × R
    0.000108919999999957 × 6371000     		dl = 693.929319999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28287740-1.28276848) × R
    0.000108919999999957 × 6371000     		dr = 693.929319999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78187416-2.78225765) × cos(1.28287740) × R
    0.000383489999999931 × 0.283957431680853 × 6371000     		do = 693.768996812949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78187416-2.78225765) × cos(1.28276848) × R
    0.000383489999999931 × 0.284061866510068 × 6371000     		du = 694.024153532279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28287740)-sin(1.28276848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283957431680853-0.284061866510068)×R²
    abs(2.78225765-2.78187416)×0.000104434829215294×R²
    0.000383489999999931×0.000104434829215294×6371000²
    0.000383489999999931×0.000104434829215294×40589641000000     		ar = 481515.179036376m²