Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15446 / 10097
↖ ↑ ↗
← N 56.650187°
W 10.305176°		 ← 671.60 m → N 56.650187°
W 10.294189°		 →
↑
671.63 m
↓
↑
671.63 m
↓
N 56.644147°
W 10.305176°		 ← 671.70 m →
451 100 m²		 N 56.644147°
W 10.294189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471389770507812 y=0.308151245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471389770507812 × 215)
    floor (0.471389770507812 × 32768)
    floor (15446.5)     		tx = 15446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308151245117188 × 215)
    floor (0.308151245117188 × 32768)
    floor (10097.5)     		ty = 10097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15446 / 10097 ti = "15/15446/10097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15446/10097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15446 ÷ 215
    15446 ÷ 32768     		x = 0.47137451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10097 ÷ 215
    10097 ÷ 32768     		y = 0.308135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47137451171875 × 2 - 1) × π
    -0.0572509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17985925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308135986328125 × 2 - 1) × π
    0.38372802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20551715164517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17985925} λ = -0.17985925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20551715164517))-π/2
    2×atan(3.33848513479225)-π/2
    2×1.27976430809251-π/2
    2.55952861618503-1.57079632675     		φ = 0.98873229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17985925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.305176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98873229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.650187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15446 KachelY 10097 -0.17985925 0.98873229 -10.305176 56.650187
    Oben rechts KachelX + 1 15447 KachelY 10097 -0.17966750 0.98873229 -10.294189 56.650187
    Unten links KachelX 15446 KachelY + 1 10098 -0.17985925 0.98862687 -10.305176 56.644147
    Unten rechts KachelX + 1 15447 KachelY + 1 10098 -0.17966750 0.98862687 -10.294189 56.644147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98873229-0.98862687) × R
    0.000105419999999912 × 6371000     		dl = 671.630819999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98873229-0.98862687) × R
    0.000105419999999912 × 6371000     		dr = 671.630819999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17985925--0.17966750) × cos(0.98873229) × R
    0.000191749999999991 × 0.549749257894481 × 6371000     		do = 671.595271102237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17985925--0.17966750) × cos(0.98862687) × R
    0.000191749999999991 × 0.549837315299393 × 6371000     		du = 671.70284548433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98873229)-sin(0.98862687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549749257894481-0.549837315299393)×R²
    abs(-0.17966750--0.17985925)×8.80574049120231e-05×R²
    0.000191749999999991×8.80574049120231e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.80574049120231e-05×40589641000000     		ar = 451100.20819077m²