Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15445 / 19209
↖ ↑ ↗
← S 29.621221°
W 10.316162°		 ← 1 061.93 m → S 29.621221°
W 10.305176°		 →
↑
1 061.92 m
↓
↑
1 061.92 m
↓
S 29.630771°
W 10.316162°		 ← 1 061.83 m →
1 127 630 m²		 S 29.630771°
W 10.305176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471359252929688 y=0.586227416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471359252929688 × 215)
    floor (0.471359252929688 × 32768)
    floor (15445.5)     		tx = 15445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586227416992188 × 215)
    floor (0.586227416992188 × 32768)
    floor (19209.5)     		ty = 19209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15445 / 19209 ti = "15/15445/19209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15445/19209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15445 ÷ 215
    15445 ÷ 32768     		x = 0.471343994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19209 ÷ 215
    19209 ÷ 32768     		y = 0.586212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.05731201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18005099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.17242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.541686965706635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18005099} λ = -0.18005099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541686965706635))-π/2
    2×atan(0.581766004798565)-π/2
    2×0.526904244955777-π/2
    1.05380848991155-1.57079632675     		φ = -0.51698784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18005099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.316162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51698784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.621221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15445 KachelY 19209 -0.18005099 -0.51698784 -10.316162 -29.621221
    Oben rechts KachelX + 1 15446 KachelY 19209 -0.17985925 -0.51698784 -10.305176 -29.621221
    Unten links KachelX 15445 KachelY + 1 19210 -0.18005099 -0.51715452 -10.316162 -29.630771
    Unten rechts KachelX + 1 15446 KachelY + 1 19210 -0.17985925 -0.51715452 -10.305176 -29.630771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51698784--0.51715452) × R
    0.000166679999999975 × 6371000     		dl = 1061.91827999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51698784--0.51715452) × R
    0.000166679999999975 × 6371000     		dr = 1061.91827999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18005099--0.17985925) × cos(-0.51698784) × R
    0.000191739999999996 × 0.869311922984862 × 6371000     		do = 1061.93018174865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18005099--0.17985925) × cos(-0.51715452) × R
    0.000191739999999996 × 0.869229527006441 × 6371000     		du = 1061.82952883681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51698784)-sin(-0.51715452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869311922984862-0.869229527006441)×R²
    abs(-0.17985925--0.18005099)×8.23959784213013e-05×R²
    0.000191739999999996×8.23959784213013e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.23959784213013e-05×40589641000000     		ar = 1127629.63210953m²