Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15442 / 6362
↖ ↑ ↗
← N 73.346759°
W 10.349121°		 ← 350.10 m → N 73.346759°
W 10.338135°		 →
↑
350.09 m
↓
↑
350.09 m
↓
N 73.343611°
W 10.349121°		 ← 350.16 m →
122 575 m²		 N 73.343611°
W 10.338135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471267700195312 y=0.194168090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471267700195312 × 215)
    floor (0.471267700195312 × 32768)
    floor (15442.5)     		tx = 15442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194168090820312 × 215)
    floor (0.194168090820312 × 32768)
    floor (6362.5)     		ty = 6362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15442 / 6362 ti = "15/15442/6362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15442/6362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15442 ÷ 215
    15442 ÷ 32768     		x = 0.47125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6362 ÷ 215
    6362 ÷ 32768     		y = 0.19415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.0574951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18062624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19415283203125 × 2 - 1) × π
    0.6116943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92169443196881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18062624} λ = -0.18062624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92169443196881))-π/2
    2×atan(6.83252591673782)-π/2
    2×1.42546938525627-π/2
    2.85093877051253-1.57079632675     		φ = 1.28014244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18062624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28014244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.346759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15442 KachelY 6362 -0.18062624 1.28014244 -10.349121 73.346759
    Oben rechts KachelX + 1 15443 KachelY 6362 -0.18043449 1.28014244 -10.338135 73.346759
    Unten links KachelX 15442 KachelY + 1 6363 -0.18062624 1.28008749 -10.349121 73.343611
    Unten rechts KachelX + 1 15443 KachelY + 1 6363 -0.18043449 1.28008749 -10.338135 73.343611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28014244-1.28008749) × R
    5.49499999999981e-05 × 6371000     		dl = 350.086449999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28014244-1.28008749) × R
    5.49499999999981e-05 × 6371000     		dr = 350.086449999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18062624--0.18043449) × cos(1.28014244) × R
    0.000191749999999991 × 0.286578746944673 × 6371000     		do = 350.095845483413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18062624--0.18043449) × cos(1.28008749) × R
    0.000191749999999991 × 0.286631391727115 × 6371000     		du = 350.160158415952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28014244)-sin(1.28008749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286578746944673-0.286631391727115)×R²
    abs(-0.18043449--0.18062624)×5.26447824420462e-05×R²
    0.000191749999999991×5.26447824420462e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.26447824420462e-05×40589641000000     		ar = 122575.069278701m²