Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15441 / 8602
↖ ↑ ↗
← N 64.652112°
W 10.360108°		 ← 523 m → N 64.652112°
W 10.349121°		 →
↑
523.06 m
↓
↑
523.06 m
↓
N 64.647408°
W 10.360108°		 ← 523.09 m →
273 584 m²		 N 64.647408°
W 10.349121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471237182617188 y=0.262527465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471237182617188 × 215)
    floor (0.471237182617188 × 32768)
    floor (15441.5)     		tx = 15441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262527465820312 × 215)
    floor (0.262527465820312 × 32768)
    floor (8602.5)     		ty = 8602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15441 / 8602 ti = "15/15441/8602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15441/8602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15441 ÷ 215
    15441 ÷ 32768     		x = 0.471221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8602 ÷ 215
    8602 ÷ 32768     		y = 0.26251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.05755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18081799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26251220703125 × 2 - 1) × π
    0.4749755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49217981137311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18081799} λ = -0.18081799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49217981137311))-π/2
    2×atan(4.44677809954519)-π/2
    2×1.34959427685622-π/2
    2.69918855371244-1.57079632675     		φ = 1.12839223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18081799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.360108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12839223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.652112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15441 KachelY 8602 -0.18081799 1.12839223 -10.360108 64.652112
    Oben rechts KachelX + 1 15442 KachelY 8602 -0.18062624 1.12839223 -10.349121 64.652112
    Unten links KachelX 15441 KachelY + 1 8603 -0.18081799 1.12831013 -10.360108 64.647408
    Unten rechts KachelX + 1 15442 KachelY + 1 8603 -0.18062624 1.12831013 -10.349121 64.647408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12839223-1.12831013) × R
    8.20999999999739e-05 × 6371000     		dl = 523.059099999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12839223-1.12831013) × R
    8.20999999999739e-05 × 6371000     		dr = 523.059099999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18081799--0.18062624) × cos(1.12839223) × R
    0.000191750000000018 × 0.428113342647875 × 6371000     		do = 523.000062827393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18081799--0.18062624) × cos(1.12831013) × R
    0.000191750000000018 × 0.42818753703156 × 6371000     		du = 523.090701598632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12839223)-sin(1.12831013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428113342647875-0.42818753703156)×R²
    abs(-0.18062624--0.18081799)×7.41943836850556e-05×R²
    0.000191750000000018×7.41943836850556e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.41943836850556e-05×40589641000000     		ar = 273583.647032566m²