Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15440 / 8592
↖ ↑ ↗
← N 64.699105°
W 10.371094°		 ← 522.07 m → N 64.699105°
W 10.360108°		 →
↑
522.10 m
↓
↑
522.10 m
↓
N 64.694410°
W 10.371094°		 ← 522.16 m →
272 597 m²		 N 64.694410°
W 10.360108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471206665039062 y=0.262222290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471206665039062 × 215)
    floor (0.471206665039062 × 32768)
    floor (15440.5)     		tx = 15440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262222290039062 × 215)
    floor (0.262222290039062 × 32768)
    floor (8592.5)     		ty = 8592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15440 / 8592 ti = "15/15440/8592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15440/8592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15440 ÷ 215
    15440 ÷ 32768     		x = 0.47119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8592 ÷ 215
    8592 ÷ 32768     		y = 0.26220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26220703125 × 2 - 1) × π
    0.4755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49409728735791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18100973} λ = -0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49409728735791))-π/2
    2×atan(4.45531286975427)-π/2
    2×1.35000436991768-π/2
    2.70000873983536-1.57079632675     		φ = 1.12921241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12921241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.699105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15440 KachelY 8592 -0.18100973 1.12921241 -10.371094 64.699105
    Oben rechts KachelX + 1 15441 KachelY 8592 -0.18081799 1.12921241 -10.360108 64.699105
    Unten links KachelX 15440 KachelY + 1 8593 -0.18100973 1.12913046 -10.371094 64.694410
    Unten rechts KachelX + 1 15441 KachelY + 1 8593 -0.18081799 1.12913046 -10.360108 64.694410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12921241-1.12913046) × R
    8.19499999999973e-05 × 6371000     		dl = 522.103449999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12921241-1.12913046) × R
    8.19499999999973e-05 × 6371000     		dr = 522.103449999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18100973--0.18081799) × cos(1.12921241) × R
    0.000191739999999996 × 0.427371981524642 × 6371000     		do = 522.067159111823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18100973--0.18081799) × cos(1.12913046) × R
    0.000191739999999996 × 0.427446069107517 × 6371000     		du = 522.157662690881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12921241)-sin(1.12913046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427371981524642-0.427446069107517)×R²
    abs(-0.18081799--0.18100973)×7.40875828752485e-05×R²
    0.000191739999999996×7.40875828752485e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.40875828752485e-05×40589641000000     		ar = 272596.691171829m²