Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15440 / 19056
↖ ↑ ↗
← S 28.149503°
W 10.371094°		 ← 1 077.09 m → S 28.149503°
W 10.360108°		 →
↑
1 077.08 m
↓
↑
1 077.08 m
↓
S 28.159189°
W 10.371094°		 ← 1 076.99 m →
1 160 058 m²		 S 28.159189°
W 10.360108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471206665039062 y=0.581558227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471206665039062 × 215)
    floor (0.471206665039062 × 32768)
    floor (15440.5)     		tx = 15440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581558227539062 × 215)
    floor (0.581558227539062 × 32768)
    floor (19056.5)     		ty = 19056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15440 / 19056 ti = "15/15440/19056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15440/19056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15440 ÷ 215
    15440 ÷ 32768     		x = 0.47119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19056 ÷ 215
    19056 ÷ 32768     		y = 0.58154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    -0.1630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.51234958313916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18100973} λ = -0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.51234958313916))-π/2
    2×atan(0.599086320757952)-π/2
    2×0.539747406482819-π/2
    1.07949481296564-1.57079632675     		φ = -0.49130151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49130151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.149503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15440 KachelY 19056 -0.18100973 -0.49130151 -10.371094 -28.149503
    Oben rechts KachelX + 1 15441 KachelY 19056 -0.18081799 -0.49130151 -10.360108 -28.149503
    Unten links KachelX 15440 KachelY + 1 19057 -0.18100973 -0.49147057 -10.371094 -28.159189
    Unten rechts KachelX + 1 15441 KachelY + 1 19057 -0.18081799 -0.49147057 -10.360108 -28.159189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49130151--0.49147057) × R
    0.000169059999999999 × 6371000     		dl = 1077.08125999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49130151--0.49147057) × R
    0.000169059999999999 × 6371000     		dr = 1077.08125999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18100973--0.18081799) × cos(-0.49130151) × R
    0.000191739999999996 × 0.881719587179151 × 6371000     		do = 1077.08708083693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18100973--0.18081799) × cos(-0.49147057) × R
    0.000191739999999996 × 0.881639816491387 × 6371000     		du = 1076.98963491594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49130151)-sin(-0.49147057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881719587179151-0.881639816491387)×R²
    abs(-0.18081799--0.18100973)×7.97706877638804e-05×R²
    0.000191739999999996×7.97706877638804e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.97706877638804e-05×40589641000000     		ar = 1160057.83433323m²