Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15439 / 8593
↖ ↑ ↗
← N 64.694410°
W 10.382080°		 ← 522.18 m → N 64.694410°
W 10.371094°		 →
↑
522.23 m
↓
↑
522.23 m
↓
N 64.689713°
W 10.382080°		 ← 522.28 m →
272 725 m²		 N 64.689713°
W 10.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471176147460938 y=0.262252807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471176147460938 × 215)
    floor (0.471176147460938 × 32768)
    floor (15439.5)     		tx = 15439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262252807617188 × 215)
    floor (0.262252807617188 × 32768)
    floor (8593.5)     		ty = 8593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15439 / 8593 ti = "15/15439/8593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15439/8593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15439 ÷ 215
    15439 ÷ 32768     		x = 0.471160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8593 ÷ 215
    8593 ÷ 32768     		y = 0.262237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.05767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18120148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262237548828125 × 2 - 1) × π
    0.47552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49390553975943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18120148} λ = -0.18120148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49390553975943))-π/2
    2×atan(4.45445865611034)-π/2
    2×1.34996339259073-π/2
    2.69992678518147-1.57079632675     		φ = 1.12913046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18120148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.382080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12913046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.694410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15439 KachelY 8593 -0.18120148 1.12913046 -10.382080 64.694410
    Oben rechts KachelX + 1 15440 KachelY 8593 -0.18100973 1.12913046 -10.371094 64.694410
    Unten links KachelX 15439 KachelY + 1 8594 -0.18120148 1.12904849 -10.382080 64.689713
    Unten rechts KachelX + 1 15440 KachelY + 1 8594 -0.18100973 1.12904849 -10.371094 64.689713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12913046-1.12904849) × R
    8.19700000000978e-05 × 6371000     		dl = 522.230870000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12913046-1.12904849) × R
    8.19700000000978e-05 × 6371000     		dr = 522.230870000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18120148--0.18100973) × cos(1.12913046) × R
    0.000191749999999991 × 0.427446069107517 × 6371000     		do = 522.18489527993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18120148--0.18100973) × cos(1.12904849) × R
    0.000191749999999991 × 0.427520171899866 × 6371000     		du = 522.275422159597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12913046)-sin(1.12904849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427446069107517-0.427520171899866)×R²
    abs(-0.18100973--0.18120148)×7.41027923482074e-05×R²
    0.000191749999999991×7.41027923482074e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.41027923482074e-05×40589641000000     		ar = 272724.710281652m²