Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15438 / 19041
↖ ↑ ↗
← S 28.004102°
W 10.393067°		 ← 1 078.60 m → S 28.004102°
W 10.382080°		 →
↑
1 078.55 m
↓
↑
1 078.55 m
↓
S 28.013801°
W 10.393067°		 ← 1 078.51 m →
1 163 271 m²		 S 28.013801°
W 10.382080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471145629882812 y=0.581100463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471145629882812 × 215)
    floor (0.471145629882812 × 32768)
    floor (15438.5)     		tx = 15438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581100463867188 × 215)
    floor (0.581100463867188 × 32768)
    floor (19041.5)     		ty = 19041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15438 / 19041 ti = "15/15438/19041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15438/19041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15438 ÷ 215
    15438 ÷ 32768     		x = 0.47113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19041 ÷ 215
    19041 ÷ 32768     		y = 0.581085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.0577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18139323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.16217041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.509473369161957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18139323} λ = -0.18139323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509473369161957))-π/2
    2×atan(0.60081190158753)-π/2
    2×0.541016272902025-π/2
    1.08203254580405-1.57079632675     		φ = -0.48876378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18139323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.393067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48876378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.004102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15438 KachelY 19041 -0.18139323 -0.48876378 -10.393067 -28.004102
    Oben rechts KachelX + 1 15439 KachelY 19041 -0.18120148 -0.48876378 -10.382080 -28.004102
    Unten links KachelX 15438 KachelY + 1 19042 -0.18139323 -0.48893307 -10.393067 -28.013801
    Unten rechts KachelX + 1 15439 KachelY + 1 19042 -0.18120148 -0.48893307 -10.382080 -28.013801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48876378--0.48893307) × R
    0.000169290000000044 × 6371000     		dl = 1078.54659000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48876378--0.48893307) × R
    0.000169290000000044 × 6371000     		dr = 1078.54659000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18139323--0.18120148) × cos(-0.48876378) × R
    0.000191749999999991 × 0.88291398138936 × 6371000     		do = 1078.60237403896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18139323--0.18120148) × cos(-0.48893307) × R
    0.000191749999999991 × 0.882834481196543 × 6371000     		du = 1078.50525348303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48876378)-sin(-0.48893307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88291398138936-0.882834481196543)×R²
    abs(-0.18120148--0.18139323)×7.95001928168837e-05×R²
    0.000191749999999991×7.95001928168837e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.95001928168837e-05×40589641000000     		ar = 1163270.54074187m²