Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15437 / 19257
↖ ↑ ↗
← S 30.078601°
W 10.404053°		 ← 1 057.13 m → S 30.078601°
W 10.393067°		 →
↑
1 057.08 m
↓
↑
1 057.08 m
↓
S 30.088108°
W 10.404053°		 ← 1 057.03 m →
1 117 415 m²		 S 30.088108°
W 10.393067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471115112304688 y=0.587692260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471115112304688 × 215)
    floor (0.471115112304688 × 32768)
    floor (15437.5)     		tx = 15437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587692260742188 × 215)
    floor (0.587692260742188 × 32768)
    floor (19257.5)     		ty = 19257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15437 / 19257 ti = "15/15437/19257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15437/19257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15437 ÷ 215
    15437 ÷ 32768     		x = 0.471099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19257 ÷ 215
    19257 ÷ 32768     		y = 0.587677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18158498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.17535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.550890850433685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18158498} λ = -0.18158498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550890850433685))-π/2
    2×atan(0.576436063261593)-π/2
    2×0.522912849727285-π/2
    1.04582569945457-1.57079632675     		φ = -0.52497063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18158498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.404053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52497063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.078601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15437 KachelY 19257 -0.18158498 -0.52497063 -10.404053 -30.078601
    Oben rechts KachelX + 1 15438 KachelY 19257 -0.18139323 -0.52497063 -10.393067 -30.078601
    Unten links KachelX 15437 KachelY + 1 19258 -0.18158498 -0.52513655 -10.404053 -30.088108
    Unten rechts KachelX + 1 15438 KachelY + 1 19258 -0.18139323 -0.52513655 -10.393067 -30.088108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52497063--0.52513655) × R
    0.000165920000000042 × 6371000     		dl = 1057.07632000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52497063--0.52513655) × R
    0.000165920000000042 × 6371000     		dr = 1057.07632000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18158498--0.18139323) × cos(-0.52497063) × R
    0.000191750000000018 × 0.865338661875674 × 6371000     		do = 1057.1316738899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18158498--0.18139323) × cos(-0.52513655) × R
    0.000191750000000018 × 0.865255492919993 × 6371000     		du = 1057.03007142926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52497063)-sin(-0.52513655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865338661875674-0.865255492919993)×R²
    abs(-0.18139323--0.18158498)×8.31689556807236e-05×R²
    0.000191750000000018×8.31689556807236e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.31689556807236e-05×40589641000000     		ar = 1117415.16137669m²