Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15437 / 10203
↖ ↑ ↗
← N 56.004524°
W 10.404053°		 ← 683.05 m → N 56.004524°
W 10.393067°		 →
↑
683.10 m
↓
↑
683.10 m
↓
N 55.998381°
W 10.404053°		 ← 683.16 m →
466 629 m²		 N 55.998381°
W 10.393067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471115112304688 y=0.311386108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471115112304688 × 215)
    floor (0.471115112304688 × 32768)
    floor (15437.5)     		tx = 15437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311386108398438 × 215)
    floor (0.311386108398438 × 32768)
    floor (10203.5)     		ty = 10203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15437 / 10203 ti = "15/15437/10203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15437/10203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15437 ÷ 215
    15437 ÷ 32768     		x = 0.471099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10203 ÷ 215
    10203 ÷ 32768     		y = 0.311370849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18158498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311370849609375 × 2 - 1) × π
    0.37725830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18519190620627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18158498} λ = -0.18158498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18519190620627))-π/2
    2×atan(3.27131454679602)-π/2
    2×1.27412983504947-π/2
    2.54825967009894-1.57079632675     		φ = 0.97746334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18158498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.404053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97746334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.004524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15437 KachelY 10203 -0.18158498 0.97746334 -10.404053 56.004524
    Oben rechts KachelX + 1 15438 KachelY 10203 -0.18139323 0.97746334 -10.393067 56.004524
    Unten links KachelX 15437 KachelY + 1 10204 -0.18158498 0.97735612 -10.404053 55.998381
    Unten rechts KachelX + 1 15438 KachelY + 1 10204 -0.18139323 0.97735612 -10.393067 55.998381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97746334-0.97735612) × R
    0.000107219999999963 × 6371000     		dl = 683.098619999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97746334-0.97735612) × R
    0.000107219999999963 × 6371000     		dr = 683.098619999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18158498--0.18139323) × cos(0.97746334) × R
    0.000191750000000018 × 0.55912744184683 × 6371000     		do = 683.052028712245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18158498--0.18139323) × cos(0.97735612) × R
    0.000191750000000018 × 0.559216332775123 × 6371000     		du = 683.160621359216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97746334)-sin(0.97735612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55912744184683-0.559216332775123)×R²
    abs(-0.18139323--0.18158498)×8.88909282926731e-05×R²
    0.000191750000000018×8.88909282926731e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.88909282926731e-05×40589641000000     		ar = 466628.988391885m²