Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15436 / 8579
↖ ↑ ↗
← N 64.760075°
W 10.415039°		 ← 520.89 m → N 64.760075°
W 10.404053°		 →
↑
520.96 m
↓
↑
520.96 m
↓
N 64.755390°
W 10.415039°		 ← 520.98 m →
271 386 m²		 N 64.755390°
W 10.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471084594726562 y=0.261825561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471084594726562 × 215)
    floor (0.471084594726562 × 32768)
    floor (15436.5)     		tx = 15436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261825561523438 × 215)
    floor (0.261825561523438 × 32768)
    floor (8579.5)     		ty = 8579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15436 / 8579 ti = "15/15436/8579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15436/8579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15436 ÷ 215
    15436 ÷ 32768     		x = 0.4710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8579 ÷ 215
    8579 ÷ 32768     		y = 0.261810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18177672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261810302734375 × 2 - 1) × π
    0.47637939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49659000613815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18177672} λ = -0.18177672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49659000613815))-π/2
    2×atan(4.46643256519557)-π/2
    2×1.35053642914456-π/2
    2.70107285828912-1.57079632675     		φ = 1.13027653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18177672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13027653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.760075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15436 KachelY 8579 -0.18177672 1.13027653 -10.415039 64.760075
    Oben rechts KachelX + 1 15437 KachelY 8579 -0.18158498 1.13027653 -10.404053 64.760075
    Unten links KachelX 15436 KachelY + 1 8580 -0.18177672 1.13019476 -10.415039 64.755390
    Unten rechts KachelX + 1 15437 KachelY + 1 8580 -0.18158498 1.13019476 -10.404053 64.755390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13027653-1.13019476) × R
    8.1769999999981e-05 × 6371000     		dl = 520.956669999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13027653-1.13019476) × R
    8.1769999999981e-05 × 6371000     		dr = 520.956669999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18177672--0.18158498) × cos(1.13027653) × R
    0.000191739999999996 × 0.426409694517525 × 6371000     		do = 520.89165284147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18177672--0.18158498) × cos(1.13019476) × R
    0.000191739999999996 × 0.426483656521353 × 6371000     		du = 520.982003016235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13027653)-sin(1.13019476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426409694517525-0.426483656521353)×R²
    abs(-0.18158498--0.18177672)×7.39620038278099e-05×R²
    0.000191739999999996×7.39620038278099e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.39620038278099e-05×40589641000000     		ar = 271385.515309416m²