Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15436 / 19339
↖ ↑ ↗
← S 30.855079°
W 10.415039°		 ← 1 048.68 m → S 30.855079°
W 10.404053°		 →
↑
1 048.73 m
↓
↑
1 048.73 m
↓
S 30.864510°
W 10.415039°		 ← 1 048.58 m →
1 099 731 m²		 S 30.864510°
W 10.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471084594726562 y=0.590194702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471084594726562 × 215)
    floor (0.471084594726562 × 32768)
    floor (15436.5)     		tx = 15436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590194702148438 × 215)
    floor (0.590194702148438 × 32768)
    floor (19339.5)     		ty = 19339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15436 / 19339 ti = "15/15436/19339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15436/19339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15436 ÷ 215
    15436 ÷ 32768     		x = 0.4710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19339 ÷ 215
    19339 ÷ 32768     		y = 0.590179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18177672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.18035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.566614153509064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18177672} λ = -0.18177672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566614153509064))-π/2
    2×atan(0.567443466262792)-π/2
    2×0.516136801143647-π/2
    1.03227360228729-1.57079632675     		φ = -0.53852272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18177672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53852272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.855079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15436 KachelY 19339 -0.18177672 -0.53852272 -10.415039 -30.855079
    Oben rechts KachelX + 1 15437 KachelY 19339 -0.18158498 -0.53852272 -10.404053 -30.855079
    Unten links KachelX 15436 KachelY + 1 19340 -0.18177672 -0.53868733 -10.415039 -30.864510
    Unten rechts KachelX + 1 15437 KachelY + 1 19340 -0.18158498 -0.53868733 -10.404053 -30.864510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53852272--0.53868733) × R
    0.000164610000000009 × 6371000     		dl = 1048.73031000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53852272--0.53868733) × R
    0.000164610000000009 × 6371000     		dr = 1048.73031000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18177672--0.18158498) × cos(-0.53852272) × R
    0.000191739999999996 × 0.858467267992557 × 6371000     		do = 1048.68261647031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18177672--0.18158498) × cos(-0.53868733) × R
    0.000191739999999996 × 0.858382833102277 × 6371000     		du = 1048.57947287362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53852272)-sin(-0.53868733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858467267992557-0.858382833102277)×R²
    abs(-0.18158498--0.18177672)×8.4434890279983e-05×R²
    0.000191739999999996×8.4434890279983e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.4434890279983e-05×40589641000000     		ar = 1099731.16303694m²