Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15436 / 10172
↖ ↑ ↗
← N 56.194481°
W 10.415039°		 ← 679.65 m → N 56.194481°
W 10.404053°		 →
↑
679.72 m
↓
↑
679.72 m
↓
N 56.188368°
W 10.415039°		 ← 679.76 m →
462 013 m²		 N 56.188368°
W 10.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471084594726562 y=0.310440063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471084594726562 × 215)
    floor (0.471084594726562 × 32768)
    floor (15436.5)     		tx = 15436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310440063476562 × 215)
    floor (0.310440063476562 × 32768)
    floor (10172.5)     		ty = 10172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15436 / 10172 ti = "15/15436/10172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15436/10172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15436 ÷ 215
    15436 ÷ 32768     		x = 0.4710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10172 ÷ 215
    10172 ÷ 32768     		y = 0.3104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18177672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3104248046875 × 2 - 1) × π
    0.379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19113608175916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18177672} λ = -0.18177672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19113608175916))-π/2
    2×atan(3.29081772247512)-π/2
    2×1.27578751976665-π/2
    2.5515750395333-1.57079632675     		φ = 0.98077871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18177672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98077871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.194481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15436 KachelY 10172 -0.18177672 0.98077871 -10.415039 56.194481
    Oben rechts KachelX + 1 15437 KachelY 10172 -0.18158498 0.98077871 -10.404053 56.194481
    Unten links KachelX 15436 KachelY + 1 10173 -0.18177672 0.98067202 -10.415039 56.188368
    Unten rechts KachelX + 1 15437 KachelY + 1 10173 -0.18158498 0.98067202 -10.404053 56.188368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98077871-0.98067202) × R
    0.000106690000000076 × 6371000     		dl = 679.721990000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98077871-0.98067202) × R
    0.000106690000000076 × 6371000     		dr = 679.721990000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18177672--0.18158498) × cos(0.98077871) × R
    0.000191739999999996 × 0.556375661337964 × 6371000     		do = 679.654898941766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18177672--0.18158498) × cos(0.98067202) × R
    0.000191739999999996 × 0.556464310186591 × 6371000     		du = 679.763190206897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98077871)-sin(0.98067202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556375661337964-0.556464310186591)×R²
    abs(-0.18158498--0.18177672)×8.86488486265824e-05×R²
    0.000191739999999996×8.86488486265824e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.86488486265824e-05×40589641000000     		ar = 462013.184837542m²