Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15432 / 17202
↖ ↑ ↗
← N 78.741011°
W137.614746°		 ← 59.63 m → N 78.741011°
W137.611999°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.740474°
W137.614746°		 ← 59.64 m →
3 556 m²		 N 78.740474°
W137.611999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117740631103516 y=0.131244659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117740631103516 × 217)
    floor (0.117740631103516 × 131072)
    floor (15432.5)     		tx = 15432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131244659423828 × 217)
    floor (0.131244659423828 × 131072)
    floor (17202.5)     		ty = 17202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15432 / 17202 ti = "17/15432/17202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15432/17202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15432 ÷ 217
    15432 ÷ 131072     		x = 0.11773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17202 ÷ 217
    17202 ÷ 131072     		y = 0.131240844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.7645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.40183042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131240844726562 × 2 - 1) × π
    0.737518310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31698210623579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40183042} λ = -2.40183042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31698210623579))-π/2
    2×atan(10.1450114938656)-π/2
    2×1.47254310850907-π/2
    2.94508621701813-1.57079632675     		φ = 1.37428989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40183042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.614746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37428989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.741011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15432 KachelY 17202 -2.40183042 1.37428989 -137.614746 78.741011
    Oben rechts KachelX + 1 15433 KachelY 17202 -2.40178248 1.37428989 -137.611999 78.741011
    Unten links KachelX 15432 KachelY + 1 17203 -2.40183042 1.37428053 -137.614746 78.740474
    Unten rechts KachelX + 1 15433 KachelY + 1 17203 -2.40178248 1.37428053 -137.611999 78.740474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37428989-1.37428053) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dl = 59.6325599997343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37428989-1.37428053) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dr = 59.6325599997343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40183042--2.40178248) × cos(1.37428989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195244200848228 × 6371000     		do = 59.6326045247394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40183042--2.40178248) × cos(1.37428053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195253380703287 × 6371000     		du = 59.6354082887641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37428989)-sin(1.37428053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195244200848228-0.195253380703287)×R²
    abs(-2.40178248--2.40183042)×9.17985505966001e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17985505966001e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17985505966001e-06×40589641000000     		ar = 3556.12846498827m²