Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15432 / 10204
↖ ↑ ↗
← N 55.998381°
W 10.458984°		 ← 683.12 m → N 55.998381°
W 10.447998°		 →
↑
683.16 m
↓
↑
683.16 m
↓
N 55.992237°
W 10.458984°		 ← 683.23 m →
466 722 m²		 N 55.992237°
W 10.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470962524414062 y=0.311416625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470962524414062 × 215)
    floor (0.470962524414062 × 32768)
    floor (15432.5)     		tx = 15432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311416625976562 × 215)
    floor (0.311416625976562 × 32768)
    floor (10204.5)     		ty = 10204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15432 / 10204 ti = "15/15432/10204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15432/10204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15432 ÷ 215
    15432 ÷ 32768     		x = 0.470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10204 ÷ 215
    10204 ÷ 32768     		y = 0.3114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3114013671875 × 2 - 1) × π
    0.377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18500015860779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18254371} λ = -0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18500015860779))-π/2
    2×atan(3.2706873402224)-π/2
    2×1.27407622511653-π/2
    2.54815245023307-1.57079632675     		φ = 0.97735612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97735612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.998381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15432 KachelY 10204 -0.18254371 0.97735612 -10.458984 55.998381
    Oben rechts KachelX + 1 15433 KachelY 10204 -0.18235197 0.97735612 -10.447998 55.998381
    Unten links KachelX 15432 KachelY + 1 10205 -0.18254371 0.97724889 -10.458984 55.992237
    Unten rechts KachelX + 1 15433 KachelY + 1 10205 -0.18235197 0.97724889 -10.447998 55.992237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97735612-0.97724889) × R
    0.000107230000000014 × 6371000     		dl = 683.162330000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97735612-0.97724889) × R
    0.000107230000000014 × 6371000     		dr = 683.162330000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18254371--0.18235197) × cos(0.97735612) × R
    0.000191739999999996 × 0.559216332775123 × 6371000     		do = 683.124993686575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18254371--0.18235197) × cos(0.97724889) × R
    0.000191739999999996 × 0.55930522556421 × 6371000     		du = 683.233582943407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97735612)-sin(0.97724889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559216332775123-0.55930522556421)×R²
    abs(-0.18235197--0.18254371)×8.88927890879687e-05×R²
    0.000191739999999996×8.88927890879687e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.88927890879687e-05×40589641000000     		ar = 466722.354860106m²