Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15431 / 8568
↖ ↑ ↗
← N 64.811557°
W 10.469971°		 ← 519.93 m → N 64.811557°
W 10.458984°		 →
↑
520 m
↓
↑
520 m
↓
N 64.806881°
W 10.469971°		 ← 520.02 m →
270 385 m²		 N 64.806881°
W 10.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470932006835938 y=0.261489868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470932006835938 × 215)
    floor (0.470932006835938 × 32768)
    floor (15431.5)     		tx = 15431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261489868164062 × 215)
    floor (0.261489868164062 × 32768)
    floor (8568.5)     		ty = 8568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15431 / 8568 ti = "15/15431/8568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15431/8568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15431 ÷ 215
    15431 ÷ 32768     		x = 0.470916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8568 ÷ 215
    8568 ÷ 32768     		y = 0.261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.05816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18273546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261474609375 × 2 - 1) × π
    0.47705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49869922972144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18273546} λ = -0.18273546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49869922972144))-π/2
    2×atan(4.47586321227056)-π/2
    2×1.35098569706891-π/2
    2.70197139413781-1.57079632675     		φ = 1.13117507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18273546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.469971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13117507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.811557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15431 KachelY 8568 -0.18273546 1.13117507 -10.469971 64.811557
    Oben rechts KachelX + 1 15432 KachelY 8568 -0.18254371 1.13117507 -10.458984 64.811557
    Unten links KachelX 15431 KachelY + 1 8569 -0.18273546 1.13109345 -10.469971 64.806881
    Unten rechts KachelX + 1 15432 KachelY + 1 8569 -0.18254371 1.13109345 -10.458984 64.806881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13117507-1.13109345) × R
    8.16200000000045e-05 × 6371000     		dl = 520.001020000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13117507-1.13109345) × R
    8.16200000000045e-05 × 6371000     		dr = 520.001020000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18273546--0.18254371) × cos(1.13117507) × R
    0.000191749999999991 × 0.425596765979697 × 6371000     		do = 519.925713993837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18273546--0.18254371) × cos(1.13109345) × R
    0.000191749999999991 × 0.42567062355452 × 6371000     		du = 520.015941306151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13117507)-sin(1.13109345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425596765979697-0.42567062355452)×R²
    abs(-0.18254371--0.18273546)×7.3857574823144e-05×R²
    0.000191749999999991×7.3857574823144e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.3857574823144e-05×40589641000000     		ar = 270385.360898454m²