Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15431 / 7255
↖ ↑ ↗
← N 80.096858°
W 95.234985°		 ← 105.06 m → N 80.096858°
W 95.229492°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
N 80.095914°
W 95.234985°		 ← 105.07 m →
11 037 m²		 N 80.095914°
W 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.235466003417969 y=0.110710144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.235466003417969 × 216)
    floor (0.235466003417969 × 65536)
    floor (15431.5)     		tx = 15431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110710144042969 × 216)
    floor (0.110710144042969 × 65536)
    floor (7255.5)     		ty = 7255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15431 / 7255 ti = "16/15431/7255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15431/7255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15431 ÷ 216
    15431 ÷ 65536     		x = 0.235458374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7255 ÷ 216
    7255 ÷ 65536     		y = 0.110702514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.235458374023438 × 2 - 1) × π
    -0.529083251953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.66216406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110702514648438 × 2 - 1) × π
    0.778594970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44602824001299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66216406} λ = -1.66216406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44602824001299))-π/2
    2×atan(11.5424118688933)-π/2
    2×1.48437511527078-π/2
    2.96875023054157-1.57079632675     		φ = 1.39795390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66216406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.234985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39795390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.096858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15431 KachelY 7255 -1.66216406 1.39795390 -95.234985 80.096858
    Oben rechts KachelX + 1 15432 KachelY 7255 -1.66206818 1.39795390 -95.229492 80.096858
    Unten links KachelX 15431 KachelY + 1 7256 -1.66216406 1.39793741 -95.234985 80.095914
    Unten rechts KachelX + 1 15432 KachelY + 1 7256 -1.66206818 1.39793741 -95.229492 80.095914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39795390-1.39793741) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dl = 105.057790000934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39795390-1.39793741) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dr = 105.057790000934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66216406--1.66206818) × cos(1.39795390) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.171983114400129 × 6371000     		do = 105.056139966502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66216406--1.66206818) × cos(1.39793741) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.171999358674057 × 6371000     		du = 105.066062805273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39795390)-sin(1.39793741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171983114400129-0.171999358674057)×R²
    abs(-1.66206818--1.66216406)×1.62442739289337e-05×R²
    9.58800000001592e-05×1.62442739289337e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×1.62442739289337e-05×40589641000000     		ar = 11037.4871268499m²