Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15430 / 13306
↖ ↑ ↗
← N 72.405671°
W 95.240478°		 ← 184.63 m → N 72.405671°
W 95.234985°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 72.404011°
W 95.240478°		 ← 184.64 m →
34 089 m²		 N 72.404011°
W 95.234985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.235450744628906 y=0.203041076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.235450744628906 × 216)
    floor (0.235450744628906 × 65536)
    floor (15430.5)     		tx = 15430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203041076660156 × 216)
    floor (0.203041076660156 × 65536)
    floor (13306.5)     		ty = 13306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15430 / 13306 ti = "16/15430/13306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15430/13306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15430 ÷ 216
    15430 ÷ 65536     		x = 0.235443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13306 ÷ 216
    13306 ÷ 65536     		y = 0.203033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.235443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.52911376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.66225993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203033447265625 × 2 - 1) × π
    0.59393310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86589588081107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66225993} λ = -1.66225993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86589588081107))-π/2
    2×atan(6.46172222661771)-π/2
    2×1.41725684258556-π/2
    2.83451368517112-1.57079632675     		φ = 1.26371736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66225993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.240478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26371736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.405671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15430 KachelY 13306 -1.66225993 1.26371736 -95.240478 72.405671
    Oben rechts KachelX + 1 15431 KachelY 13306 -1.66216406 1.26371736 -95.234985 72.405671
    Unten links KachelX 15430 KachelY + 1 13307 -1.66225993 1.26368838 -95.240478 72.404011
    Unten rechts KachelX + 1 15431 KachelY + 1 13307 -1.66216406 1.26368838 -95.234985 72.404011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26371736-1.26368838) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26371736-1.26368838) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66225993--1.66216406) × cos(1.26371736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302275540973824 × 6371000     		do = 184.626203596941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66225993--1.66216406) × cos(1.26368838) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302303165179649 × 6371000     		du = 184.643076124015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26371736)-sin(1.26368838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302275540973824-0.302303165179649)×R²
    abs(-1.66216406--1.66225993)×2.76242058254161e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76242058254161e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76242058254161e-05×40589641000000     		ar = 34089.3852823297m²