Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15429 / 3275
↖ ↑ ↗
← N 72.744522°
E159.016113°		 ← 724.76 m → N 72.744522°
E159.038086°		 →
↑
724.89 m
↓
↑
724.89 m
↓
N 72.738003°
E159.016113°		 ← 725.02 m →
525 467 m²		 N 72.738003°
E159.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941741943359375 y=0.199920654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941741943359375 × 214)
    floor (0.941741943359375 × 16384)
    floor (15429.5)     		tx = 15429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199920654296875 × 214)
    floor (0.199920654296875 × 16384)
    floor (3275.5)     		ty = 3275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15429 / 3275 ti = "14/15429/3275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15429/3275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15429 ÷ 214
    15429 ÷ 16384     		x = 0.94171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3275 ÷ 214
    3275 ÷ 16384     		y = 0.19989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94171142578125 × 2 - 1) × π
    0.8834228515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77535474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19989013671875 × 2 - 1) × π
    0.6002197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88564588345453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77535474} λ = 2.77535474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88564588345453))-π/2
    2×atan(6.59060983347036)-π/2
    2×1.42021387444654-π/2
    2.84042774889309-1.57079632675     		φ = 1.26963142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77535474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26963142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.744522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15429 KachelY 3275 2.77535474 1.26963142 159.016113 72.744522
    Oben rechts KachelX + 1 15430 KachelY 3275 2.77573824 1.26963142 159.038086 72.744522
    Unten links KachelX 15429 KachelY + 1 3276 2.77535474 1.26951764 159.016113 72.738003
    Unten rechts KachelX + 1 15430 KachelY + 1 3276 2.77573824 1.26951764 159.038086 72.738003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26963142-1.26951764) × R
    0.000113780000000174 × 6371000     		dl = 724.89238000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26963142-1.26951764) × R
    0.000113780000000174 × 6371000     		dr = 724.89238000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77535474-2.77573824) × cos(1.26963142) × R
    0.00038349999999987 × 0.296632883865641 × 6371000     		do = 724.756747541672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77535474-2.77573824) × cos(1.26951764) × R
    0.00038349999999987 × 0.296741540888145 × 6371000     		du = 725.022226908631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26963142)-sin(1.26951764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296632883865641-0.296741540888145)×R²
    abs(2.77573824-2.77535474)×0.000108657022504177×R²
    0.00038349999999987×0.000108657022504177×6371000²
    0.00038349999999987×0.000108657022504177×40589641000000     		ar = 525466.866198812m²