Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15428 / 3276
↖ ↑ ↗
← N 72.738003°
E158.994141°		 ← 725 m → N 72.738003°
E159.016113°		 →
↑
725.15 m
↓
↑
725.15 m
↓
N 72.731481°
E158.994141°		 ← 725.27 m →
525 830 m²		 N 72.731481°
E159.016113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941680908203125 y=0.199981689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941680908203125 × 214)
    floor (0.941680908203125 × 16384)
    floor (15428.5)     		tx = 15428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199981689453125 × 214)
    floor (0.199981689453125 × 16384)
    floor (3276.5)     		ty = 3276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15428 / 3276 ti = "14/15428/3276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15428/3276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15428 ÷ 214
    15428 ÷ 16384     		x = 0.941650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3276 ÷ 214
    3276 ÷ 16384     		y = 0.199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941650390625 × 2 - 1) × π
    0.88330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77497125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199951171875 × 2 - 1) × π
    0.60009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88526238825757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77497125} λ = 2.77497125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88526238825757))-π/2
    2×atan(6.58808285082801)-π/2
    2×1.4201569853872-π/2
    2.8403139707744-1.57079632675     		φ = 1.26951764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77497125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26951764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.738003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15428 KachelY 3276 2.77497125 1.26951764 158.994141 72.738003
    Oben rechts KachelX + 1 15429 KachelY 3276 2.77535474 1.26951764 159.016113 72.738003
    Unten links KachelX 15428 KachelY + 1 3277 2.77497125 1.26940382 158.994141 72.731481
    Unten rechts KachelX + 1 15429 KachelY + 1 3277 2.77535474 1.26940382 159.016113 72.731481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26951764-1.26940382) × R
    0.000113819999999931 × 6371000     		dl = 725.147219999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26951764-1.26940382) × R
    0.000113819999999931 × 6371000     		dr = 725.147219999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77497125-2.77535474) × cos(1.26951764) × R
    0.000383489999999931 × 0.296741540888145 × 6371000     		do = 725.003321505176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77497125-2.77535474) × cos(1.26940382) × R
    0.000383489999999931 × 0.296850232266029 × 6371000     		du = 725.268877887166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26951764)-sin(1.26940382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296741540888145-0.296850232266029)×R²
    abs(2.77535474-2.77497125)×0.000108691377883274×R²
    0.000383489999999931×0.000108691377883274×6371000²
    0.000383489999999931×0.000108691377883274×40589641000000     		ar = 525830.427384455m²