Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15428 / 19524
↖ ↑ ↗
← S 32.583849°
W 10.502929°		 ← 1 029.30 m → S 32.583849°
W 10.491944°		 →
↑
1 029.30 m
↓
↑
1 029.30 m
↓
S 32.593106°
W 10.502929°		 ← 1 029.20 m →
1 059 407 m²		 S 32.593106°
W 10.491944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470840454101562 y=0.595840454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470840454101562 × 215)
    floor (0.470840454101562 × 32768)
    floor (15428.5)     		tx = 15428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595840454101562 × 215)
    floor (0.595840454101562 × 32768)
    floor (19524.5)     		ty = 19524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15428 / 19524 ti = "15/15428/19524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15428/19524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15428 ÷ 215
    15428 ÷ 32768     		x = 0.4708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19524 ÷ 215
    19524 ÷ 32768     		y = 0.5958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5958251953125 × 2 - 1) × π
    -0.191650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.602087459227905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18331070} λ = -0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602087459227905))-π/2
    2×atan(0.547667209067827)-π/2
    2×0.501050436551477-π/2
    1.00210087310295-1.57079632675     		φ = -0.56869545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56869545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.583849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15428 KachelY 19524 -0.18331070 -0.56869545 -10.502929 -32.583849
    Oben rechts KachelX + 1 15429 KachelY 19524 -0.18311896 -0.56869545 -10.491944 -32.583849
    Unten links KachelX 15428 KachelY + 1 19525 -0.18331070 -0.56885701 -10.502929 -32.593106
    Unten rechts KachelX + 1 15429 KachelY + 1 19525 -0.18311896 -0.56885701 -10.491944 -32.593106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56869545--0.56885701) × R
    0.000161560000000005 × 6371000     		dl = 1029.29876000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56869545--0.56885701) × R
    0.000161560000000005 × 6371000     		dr = 1029.29876000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18331070--0.18311896) × cos(-0.56869545) × R
    0.000191739999999996 × 0.842604235556986 × 6371000     		do = 1029.30472405679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18331070--0.18311896) × cos(-0.56885701) × R
    0.000191739999999996 × 0.842517219122691 × 6371000     		du = 1029.19842690908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56869545)-sin(-0.56885701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842604235556986-0.842517219122691)×R²
    abs(-0.18311896--0.18331070)×8.70164342948732e-05×R²
    0.000191739999999996×8.70164342948732e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.70164342948732e-05×40589641000000     		ar = 1059407.37267663m²