Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15426 / 3138
↖ ↑ ↗
← N 73.615397°
E158.950195°		 ← 689.21 m → N 73.615397°
E158.972168°		 →
↑
689.34 m
↓
↑
689.34 m
↓
N 73.609198°
E158.950195°		 ← 689.46 m →
475 188 m²		 N 73.609198°
E158.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941558837890625 y=0.191558837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941558837890625 × 214)
    floor (0.941558837890625 × 16384)
    floor (15426.5)     		tx = 15426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191558837890625 × 214)
    floor (0.191558837890625 × 16384)
    floor (3138.5)     		ty = 3138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15426 / 3138 ti = "14/15426/3138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15426/3138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15426 ÷ 214
    15426 ÷ 16384     		x = 0.9415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3138 ÷ 214
    3138 ÷ 16384     		y = 0.1915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9415283203125 × 2 - 1) × π
    0.883056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77420425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1915283203125 × 2 - 1) × π
    0.616943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93818472543811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77420425} λ = 2.77420425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93818472543811))-π/2
    2×atan(6.94613038539706)-π/2
    2×1.42781369316055-π/2
    2.85562738632109-1.57079632675     		φ = 1.28483106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77420425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28483106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.615397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15426 KachelY 3138 2.77420425 1.28483106 158.950195 73.615397
    Oben rechts KachelX + 1 15427 KachelY 3138 2.77458775 1.28483106 158.972168 73.615397
    Unten links KachelX 15426 KachelY + 1 3139 2.77420425 1.28472286 158.950195 73.609198
    Unten rechts KachelX + 1 15427 KachelY + 1 3139 2.77458775 1.28472286 158.972168 73.609198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28483106-1.28472286) × R
    0.000108199999999892 × 6371000     		dl = 689.34219999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28483106-1.28472286) × R
    0.000108199999999892 × 6371000     		dr = 689.34219999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77420425-2.77458775) × cos(1.28483106) × R
    0.00038349999999987 × 0.282083649696281 × 6371000     		do = 689.20891650422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77420425-2.77458775) × cos(1.28472286) × R
    0.00038349999999987 × 0.282187454022707 × 6371000     		du = 689.462539383184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28483106)-sin(1.28472286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282083649696281-0.282187454022707)×R²
    abs(2.77458775-2.77420425)×0.000103804326425982×R²
    0.00038349999999987×0.000103804326425982×6371000²
    0.00038349999999987×0.000103804326425982×40589641000000     		ar = 475188.20770329m²