Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15425 / 8512
↖ ↑ ↗
← N 65.072130°
W 10.535889°		 ← 514.89 m → N 65.072130°
W 10.524902°		 →
↑
514.90 m
↓
↑
514.90 m
↓
N 65.067499°
W 10.535889°		 ← 514.98 m →
265 144 m²		 N 65.067499°
W 10.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470748901367188 y=0.259780883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470748901367188 × 215)
    floor (0.470748901367188 × 32768)
    floor (15425.5)     		tx = 15425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259780883789062 × 215)
    floor (0.259780883789062 × 32768)
    floor (8512.5)     		ty = 8512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15425 / 8512 ti = "15/15425/8512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15425/8512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15425 ÷ 215
    15425 ÷ 32768     		x = 0.470733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8512 ÷ 215
    8512 ÷ 32768     		y = 0.259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.05853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18388595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259765625 × 2 - 1) × π
    0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18388595} λ = -0.18388595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50943709523633))-π/2
    2×atan(4.5241833930257)-π/2
    2×1.35325962402831-π/2
    2.70651924805661-1.57079632675     		φ = 1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18388595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.535889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15425 KachelY 8512 -0.18388595 1.13572292 -10.535889 65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 15426 KachelY 8512 -0.18369420 1.13572292 -10.524902 65.072130
    Unten links KachelX 15425 KachelY + 1 8513 -0.18388595 1.13564210 -10.535889 65.067499
    Unten rechts KachelX + 1 15426 KachelY + 1 8513 -0.18369420 1.13564210 -10.524902 65.067499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13572292-1.13564210) × R
    8.08199999999815e-05 × 6371000     		dl = 514.904219999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13572292-1.13564210) × R
    8.08199999999815e-05 × 6371000     		dr = 514.904219999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18388595--0.18369420) × cos(1.13572292) × R
    0.000191749999999991 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 514.892810322468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18388595--0.18369420) × cos(1.13564210) × R
    0.000191749999999991 × 0.421550260014291 × 6371000     		du = 514.982343481139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13572292)-sin(1.13564210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.421550260014291)×R²
    abs(-0.18369420--0.18388595)×7.32893599073026e-05×R²
    0.000191749999999991×7.32893599073026e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.32893599073026e-05×40589641000000     		ar = 265143.53152747m²