Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15425 / 3150
↖ ↑ ↗
← N 73.540855°
E158.928223°		 ← 692.24 m → N 73.540855°
E158.950195°		 →
↑
692.40 m
↓
↑
692.40 m
↓
N 73.534628°
E158.928223°		 ← 692.49 m →
479 395 m²		 N 73.534628°
E158.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941497802734375 y=0.192291259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941497802734375 × 214)
    floor (0.941497802734375 × 16384)
    floor (15425.5)     		tx = 15425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192291259765625 × 214)
    floor (0.192291259765625 × 16384)
    floor (3150.5)     		ty = 3150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15425 / 3150 ti = "14/15425/3150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15425/3150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15425 ÷ 214
    15425 ÷ 16384     		x = 0.94146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3150 ÷ 214
    3150 ÷ 16384     		y = 0.1922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94146728515625 × 2 - 1) × π
    0.8829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77382076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1922607421875 × 2 - 1) × π
    0.615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93358278307459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77382076} λ = 2.77382076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93358278307459))-π/2
    2×atan(6.91423813315142)-π/2
    2×1.42716319205065-π/2
    2.85432638410131-1.57079632675     		φ = 1.28353006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77382076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28353006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.540855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15425 KachelY 3150 2.77382076 1.28353006 158.928223 73.540855
    Oben rechts KachelX + 1 15426 KachelY 3150 2.77420425 1.28353006 158.950195 73.540855
    Unten links KachelX 15425 KachelY + 1 3151 2.77382076 1.28342138 158.928223 73.534628
    Unten rechts KachelX + 1 15426 KachelY + 1 3151 2.77420425 1.28342138 158.950195 73.534628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28353006-1.28342138) × R
    0.000108679999999861 × 6371000     		dl = 692.400279999115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28353006-1.28342138) × R
    0.000108679999999861 × 6371000     		dr = 692.400279999115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77382076-2.77420425) × cos(1.28353006) × R
    0.000383489999999931 × 0.283331576764258 × 6371000     		do = 692.239898824329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77382076-2.77420425) × cos(1.28342138) × R
    0.000383489999999931 × 0.283435801602946 × 6371000     		du = 692.494542491698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28353006)-sin(1.28342138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283331576764258-0.283435801602946)×R²
    abs(2.77420425-2.77382076)×0.000104224838688494×R²
    0.000383489999999931×0.000104224838688494×6371000²
    0.000383489999999931×0.000104224838688494×40589641000000     		ar = 479395.257916615m²