Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15425 / 19519
↖ ↑ ↗
← S 32.537552°
W 10.535889°		 ← 1 029.89 m → S 32.537552°
W 10.524902°		 →
↑
1 029.81 m
↓
↑
1 029.81 m
↓
S 32.546813°
W 10.535889°		 ← 1 029.78 m →
1 060 534 m²		 S 32.546813°
W 10.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470748901367188 y=0.595687866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470748901367188 × 215)
    floor (0.470748901367188 × 32768)
    floor (15425.5)     		tx = 15425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595687866210938 × 215)
    floor (0.595687866210938 × 32768)
    floor (19519.5)     		ty = 19519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15425 / 19519 ti = "15/15425/19519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15425/19519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15425 ÷ 215
    15425 ÷ 32768     		x = 0.470733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19519 ÷ 215
    19519 ÷ 32768     		y = 0.595672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.05853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18388595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.19134521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.601128721235504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18388595} λ = -0.18388595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601128721235504))-π/2
    2×atan(0.548192530210783)-π/2
    2×0.501454459145115-π/2
    1.00290891829023-1.57079632675     		φ = -0.56788741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18388595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.535889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56788741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.537552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15425 KachelY 19519 -0.18388595 -0.56788741 -10.535889 -32.537552
    Oben rechts KachelX + 1 15426 KachelY 19519 -0.18369420 -0.56788741 -10.524902 -32.537552
    Unten links KachelX 15425 KachelY + 1 19520 -0.18388595 -0.56804905 -10.535889 -32.546813
    Unten rechts KachelX + 1 15426 KachelY + 1 19520 -0.18369420 -0.56804905 -10.524902 -32.546813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56788741--0.56804905) × R
    0.000161640000000074 × 6371000     		dl = 1029.80844000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56788741--0.56804905) × R
    0.000161640000000074 × 6371000     		dr = 1029.80844000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18388595--0.18369420) × cos(-0.56788741) × R
    0.000191749999999991 × 0.843039116867416 × 6371000     		do = 1029.88967445052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18388595--0.18369420) × cos(-0.56804905) × R
    0.000191749999999991 × 0.842952167416165 × 6371000     		du = 1029.78345358811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56788741)-sin(-0.56804905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843039116867416-0.842952167416165)×R²
    abs(-0.18369420--0.18388595)×8.69494512507618e-05×R²
    0.000191749999999991×8.69494512507618e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.69494512507618e-05×40589641000000     		ar = 1060534.3877573m²