Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15425 / 19205
↖ ↑ ↗
← S 29.583012°
W 10.535889°		 ← 1 062.39 m → S 29.583012°
W 10.524902°		 →
↑
1 062.30 m
↓
↑
1 062.30 m
↓
S 29.592565°
W 10.535889°		 ← 1 062.29 m →
1 128 522 m²		 S 29.592565°
W 10.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470748901367188 y=0.586105346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470748901367188 × 215)
    floor (0.470748901367188 × 32768)
    floor (15425.5)     		tx = 15425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586105346679688 × 215)
    floor (0.586105346679688 × 32768)
    floor (19205.5)     		ty = 19205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15425 / 19205 ti = "15/15425/19205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15425/19205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15425 ÷ 215
    15425 ÷ 32768     		x = 0.470733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19205 ÷ 215
    19205 ÷ 32768     		y = 0.586090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.05853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18388595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586090087890625 × 2 - 1) × π
    -0.17218017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.540919975312714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18388595} λ = -0.18388595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540919975312714))-π/2
    2×atan(0.582212384898497)-π/2
    2×0.527237685077641-π/2
    1.05447537015528-1.57079632675     		φ = -0.51632096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18388595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.535889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51632096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.583012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15425 KachelY 19205 -0.18388595 -0.51632096 -10.535889 -29.583012
    Oben rechts KachelX + 1 15426 KachelY 19205 -0.18369420 -0.51632096 -10.524902 -29.583012
    Unten links KachelX 15425 KachelY + 1 19206 -0.18388595 -0.51648770 -10.535889 -29.592565
    Unten rechts KachelX + 1 15426 KachelY + 1 19206 -0.18369420 -0.51648770 -10.524902 -29.592565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51632096--0.51648770) × R
    0.000166739999999943 × 6371000     		dl = 1062.30053999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51632096--0.51648770) × R
    0.000166739999999943 × 6371000     		dr = 1062.30053999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18388595--0.18369420) × cos(-0.51632096) × R
    0.000191749999999991 × 0.869641344350952 × 6371000     		do = 1062.38799968184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18388595--0.18369420) × cos(-0.51648770) × R
    0.000191749999999991 × 0.869559015385378 × 6371000     		du = 1062.28742338608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51632096)-sin(-0.51648770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869641344350952-0.869559015385378)×R²
    abs(-0.18369420--0.18388595)×8.232896557403e-05×R²
    0.000191749999999991×8.232896557403e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.232896557403e-05×40589641000000     		ar = 1128521.92723896m²