Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15425 / 10098
↖ ↑ ↗
← N 56.644147°
W 10.535889°		 ← 671.70 m → N 56.644147°
W 10.524902°		 →
↑
671.76 m
↓
↑
671.76 m
↓
N 56.638106°
W 10.535889°		 ← 671.81 m →
451 258 m²		 N 56.638106°
W 10.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470748901367188 y=0.308181762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470748901367188 × 215)
    floor (0.470748901367188 × 32768)
    floor (15425.5)     		tx = 15425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308181762695312 × 215)
    floor (0.308181762695312 × 32768)
    floor (10098.5)     		ty = 10098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15425 / 10098 ti = "15/15425/10098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15425/10098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15425 ÷ 215
    15425 ÷ 32768     		x = 0.470733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10098 ÷ 215
    10098 ÷ 32768     		y = 0.30816650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.05853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18388595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30816650390625 × 2 - 1) × π
    0.3836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20532540404669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18388595} λ = -0.18388595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20532540404669))-π/2
    2×atan(3.33784504965445)-π/2
    2×1.27971159732128-π/2
    2.55942319464257-1.57079632675     		φ = 0.98862687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18388595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.535889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98862687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.644147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15425 KachelY 10098 -0.18388595 0.98862687 -10.535889 56.644147
    Oben rechts KachelX + 1 15426 KachelY 10098 -0.18369420 0.98862687 -10.524902 56.644147
    Unten links KachelX 15425 KachelY + 1 10099 -0.18388595 0.98852143 -10.535889 56.638106
    Unten rechts KachelX + 1 15426 KachelY + 1 10099 -0.18369420 0.98852143 -10.524902 56.638106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98862687-0.98852143) × R
    0.000105440000000012 × 6371000     		dl = 671.758240000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98862687-0.98852143) × R
    0.000105440000000012 × 6371000     		dr = 671.758240000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18388595--0.18369420) × cos(0.98862687) × R
    0.000191749999999991 × 0.549837315299393 × 6371000     		do = 671.70284548433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18388595--0.18369420) × cos(0.98852143) × R
    0.000191749999999991 × 0.549925383298032 × 6371000     		du = 671.810432808137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98862687)-sin(0.98852143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549837315299393-0.549925383298032)×R²
    abs(-0.18369420--0.18388595)×8.80679986389188e-05×R²
    0.000191749999999991×8.80679986389188e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.80679986389188e-05×40589641000000     		ar = 451258.05803945m²