Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15424 / 3264
↖ ↑ ↗
← N 72.816073°
E158.906250°		 ← 721.84 m → N 72.816073°
E158.928223°		 →
↑
721.96 m
↓
↑
721.96 m
↓
N 72.809581°
E158.906250°		 ← 722.11 m →
521 238 m²		 N 72.809581°
E158.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941436767578125 y=0.199249267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941436767578125 × 214)
    floor (0.941436767578125 × 16384)
    floor (15424.5)     		tx = 15424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199249267578125 × 214)
    floor (0.199249267578125 × 16384)
    floor (3264.5)     		ty = 3264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15424 / 3264 ti = "14/15424/3264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15424/3264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15424 ÷ 214
    15424 ÷ 16384     		x = 0.94140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3264 ÷ 214
    3264 ÷ 16384     		y = 0.19921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94140625 × 2 - 1) × π
    0.8828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77343726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19921875 × 2 - 1) × π
    0.6015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88986433062109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77343726} λ = 2.77343726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88986433062109))-π/2
    2×atan(6.61847069632126)-π/2
    2×1.42083828077337-π/2
    2.84167656154673-1.57079632675     		φ = 1.27088023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77343726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27088023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.816073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15424 KachelY 3264 2.77343726 1.27088023 158.906250 72.816073
    Oben rechts KachelX + 1 15425 KachelY 3264 2.77382076 1.27088023 158.928223 72.816073
    Unten links KachelX 15424 KachelY + 1 3265 2.77343726 1.27076691 158.906250 72.809581
    Unten rechts KachelX + 1 15425 KachelY + 1 3265 2.77382076 1.27076691 158.928223 72.809581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27088023-1.27076691) × R
    0.000113319999999861 × 6371000     		dl = 721.961719999116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27088023-1.27076691) × R
    0.000113319999999861 × 6371000     		dr = 721.961719999116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77343726-2.77382076) × cos(1.27088023) × R
    0.00038349999999987 × 0.29544004982785 × 6371000     		do = 721.84232178307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77343726-2.77382076) × cos(1.27076691) × R
    0.00038349999999987 × 0.295548309471029 × 6371000     		du = 722.106830241668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27088023)-sin(1.27076691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29544004982785-0.295548309471029)×R²
    abs(2.77382076-2.77343726)×0.000108259643179509×R²
    0.00038349999999987×0.000108259643179509×6371000²
    0.00038349999999987×0.000108259643179509×40589641000000     		ar = 521238.007251109m²