Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15424 / 19192
↖ ↑ ↗
← S 29.458731°
W 10.546875°		 ← 1 063.64 m → S 29.458731°
W 10.535889°		 →
↑
1 063.64 m
↓
↑
1 063.64 m
↓
S 29.468297°
W 10.546875°		 ← 1 063.54 m →
1 131 273 m²		 S 29.468297°
W 10.535889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470718383789062 y=0.585708618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470718383789062 × 215)
    floor (0.470718383789062 × 32768)
    floor (15424.5)     		tx = 15424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585708618164062 × 215)
    floor (0.585708618164062 × 32768)
    floor (19192.5)     		ty = 19192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15424 / 19192 ti = "15/15424/19192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15424/19192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15424 ÷ 215
    15424 ÷ 32768     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19192 ÷ 215
    19192 ÷ 32768     		y = 0.585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.17138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.538427256532471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538427256532471))-π/2
    2×atan(0.583665486979425)-π/2
    2×0.528322237081957-π/2
    1.05664447416391-1.57079632675     		φ = -0.51415185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51415185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.458731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15424 KachelY 19192 -0.18407769 -0.51415185 -10.546875 -29.458731
    Oben rechts KachelX + 1 15425 KachelY 19192 -0.18388595 -0.51415185 -10.535889 -29.458731
    Unten links KachelX 15424 KachelY + 1 19193 -0.18407769 -0.51431880 -10.546875 -29.468297
    Unten rechts KachelX + 1 15425 KachelY + 1 19193 -0.18388595 -0.51431880 -10.535889 -29.468297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51415185--0.51431880) × R
    0.000166949999999999 × 6371000     		dl = 1063.63844999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51415185--0.51431880) × R
    0.000166949999999999 × 6371000     		dr = 1063.63844999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18388595) × cos(-0.51415185) × R
    0.000191739999999996 × 0.87071015265401 × 6371000     		do = 1063.63822491178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18388595) × cos(-0.51431880) × R
    0.000191739999999996 × 0.870628035088825 × 6371000     		du = 1063.53791210275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51415185)-sin(-0.51431880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87071015265401-0.870628035088825)×R²
    abs(-0.18388595--0.18407769)×8.21175651842809e-05×R²
    0.000191739999999996×8.21175651842809e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.21175651842809e-05×40589641000000     		ar = 1131273.16725306m²