Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15423 / 8507
↖ ↑ ↗
← N 65.095272°
W 10.557861°		 ← 514.45 m → N 65.095272°
W 10.546875°		 →
↑
514.46 m
↓
↑
514.46 m
↓
N 65.090646°
W 10.557861°		 ← 514.53 m →
264 684 m²		 N 65.090646°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470687866210938 y=0.259628295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470687866210938 × 215)
    floor (0.470687866210938 × 32768)
    floor (15423.5)     		tx = 15423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259628295898438 × 215)
    floor (0.259628295898438 × 32768)
    floor (8507.5)     		ty = 8507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15423 / 8507 ti = "15/15423/8507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15423/8507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15423 ÷ 215
    15423 ÷ 32768     		x = 0.470672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8507 ÷ 215
    8507 ÷ 32768     		y = 0.259613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.05865478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18426944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259613037109375 × 2 - 1) × π
    0.48077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51039583322873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18426944} λ = -0.18426944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51039583322873))-π/2
    2×atan(4.52852297945997)-π/2
    2×1.35346157920984-π/2
    2.70692315841968-1.57079632675     		φ = 1.13612683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18426944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.557861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13612683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.095272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15423 KachelY 8507 -0.18426944 1.13612683 -10.557861 65.095272
    Oben rechts KachelX + 1 15424 KachelY 8507 -0.18407769 1.13612683 -10.546875 65.095272
    Unten links KachelX 15423 KachelY + 1 8508 -0.18426944 1.13604608 -10.557861 65.090646
    Unten rechts KachelX + 1 15424 KachelY + 1 8508 -0.18407769 1.13604608 -10.546875 65.090646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13612683-1.13604608) × R
    8.07499999999628e-05 × 6371000     		dl = 514.458249999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13612683-1.13604608) × R
    8.07499999999628e-05 × 6371000     		dr = 514.458249999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18426944--0.18407769) × cos(1.13612683) × R
    0.000191750000000018 × 0.421110654900685 × 6371000     		do = 514.44530461993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18426944--0.18407769) × cos(1.13604608) × R
    0.000191750000000018 × 0.421183894526239 × 6371000     		du = 514.534777021163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13612683)-sin(1.13604608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421110654900685-0.421183894526239)×R²
    abs(-0.18407769--0.18426944)×7.32396255543333e-05×R²
    0.000191750000000018×7.32396255543333e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.32396255543333e-05×40589641000000     		ar = 264683.646187249m²