Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15422 / 6338
↖ ↑ ↗
← N 73.422156°
W 10.568848°		 ← 348.56 m → N 73.422156°
W 10.557861°		 →
↑
348.56 m
↓
↑
348.56 m
↓
N 73.419021°
W 10.568848°		 ← 348.62 m →
121 503 m²		 N 73.419021°
W 10.557861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470657348632812 y=0.193435668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470657348632812 × 215)
    floor (0.470657348632812 × 32768)
    floor (15422.5)     		tx = 15422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193435668945312 × 215)
    floor (0.193435668945312 × 32768)
    floor (6338.5)     		ty = 6338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15422 / 6338 ti = "15/15422/6338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15422/6338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15422 ÷ 215
    15422 ÷ 32768     		x = 0.47064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6338 ÷ 215
    6338 ÷ 32768     		y = 0.19342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.0587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18446119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19342041015625 × 2 - 1) × π
    0.6131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92629637433234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18446119} λ = -0.18446119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92629637433234))-π/2
    2×atan(6.86404126749883)-π/2
    2×1.42612734298771-π/2
    2.85225468597542-1.57079632675     		φ = 1.28145836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18446119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.568848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28145836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.422156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15422 KachelY 6338 -0.18446119 1.28145836 -10.568848 73.422156
    Oben rechts KachelX + 1 15423 KachelY 6338 -0.18426944 1.28145836 -10.557861 73.422156
    Unten links KachelX 15422 KachelY + 1 6339 -0.18446119 1.28140365 -10.568848 73.419021
    Unten rechts KachelX + 1 15423 KachelY + 1 6339 -0.18426944 1.28140365 -10.557861 73.419021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28145836-1.28140365) × R
    5.47100000001244e-05 × 6371000     		dl = 348.557410000792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28145836-1.28140365) × R
    5.47100000001244e-05 × 6371000     		dr = 348.557410000792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18446119--0.18426944) × cos(1.28145836) × R
    0.000191749999999991 × 0.285317773222293 × 6371000     		do = 348.555390490935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18446119--0.18426944) × cos(1.28140365) × R
    0.000191749999999991 × 0.285370208663345 × 6371000     		du = 348.619447683815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28145836)-sin(1.28140365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285317773222293-0.285370208663345)×R²
    abs(-0.18426944--0.18446119)×5.24354410523231e-05×R²
    0.000191749999999991×5.24354410523231e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.24354410523231e-05×40589641000000     		ar = 121502.727986675m²