Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15422 / 10186
↖ ↑ ↗
← N 56.108810°
W 10.568848°		 ← 681.21 m → N 56.108810°
W 10.557861°		 →
↑
681.25 m
↓
↑
681.25 m
↓
N 56.102683°
W 10.568848°		 ← 681.32 m →
464 110 m²		 N 56.102683°
W 10.557861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470657348632812 y=0.310867309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470657348632812 × 215)
    floor (0.470657348632812 × 32768)
    floor (15422.5)     		tx = 15422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310867309570312 × 215)
    floor (0.310867309570312 × 32768)
    floor (10186.5)     		ty = 10186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15422 / 10186 ti = "15/15422/10186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15422/10186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15422 ÷ 215
    15422 ÷ 32768     		x = 0.47064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10186 ÷ 215
    10186 ÷ 32768     		y = 0.31085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.0587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18446119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31085205078125 × 2 - 1) × π
    0.3782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18845161538043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18446119} λ = -0.18446119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18845161538043))-π/2
    2×atan(3.28199547974565)-π/2
    2×1.27503990065757-π/2
    2.55007980131514-1.57079632675     		φ = 0.97928347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18446119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.568848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97928347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.108810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15422 KachelY 10186 -0.18446119 0.97928347 -10.568848 56.108810
    Oben rechts KachelX + 1 15423 KachelY 10186 -0.18426944 0.97928347 -10.557861 56.108810
    Unten links KachelX 15422 KachelY + 1 10187 -0.18446119 0.97917654 -10.568848 56.102683
    Unten rechts KachelX + 1 15423 KachelY + 1 10187 -0.18426944 0.97917654 -10.557861 56.102683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97928347-0.97917654) × R
    0.000106930000000061 × 6371000     		dl = 681.251030000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97928347-0.97917654) × R
    0.000106930000000061 × 6371000     		dr = 681.251030000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18446119--0.18426944) × cos(0.97928347) × R
    0.000191749999999991 × 0.557617480004249 × 6371000     		do = 681.207400059247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18446119--0.18426944) × cos(0.97917654) × R
    0.000191749999999991 × 0.557706239198946 × 6371000     		du = 681.315831775287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97928347)-sin(0.97917654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557617480004249-0.557706239198946)×R²
    abs(-0.18426944--0.18446119)×8.87591946967525e-05×R²
    0.000191749999999991×8.87591946967525e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.87591946967525e-05×40589641000000     		ar = 464110.177985976m²