Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15421 / 3294
↖ ↑ ↗
← N 72.620252°
E158.840332°		 ← 729.80 m → N 72.620252°
E158.862304°		 →
↑
729.93 m
↓
↑
729.93 m
↓
N 72.613688°
E158.840332°		 ← 730.06 m →
532 795 m²		 N 72.613688°
E158.862304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941253662109375 y=0.201080322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941253662109375 × 214)
    floor (0.941253662109375 × 16384)
    floor (15421.5)     		tx = 15421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201080322265625 × 214)
    floor (0.201080322265625 × 16384)
    floor (3294.5)     		ty = 3294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15421 / 3294 ti = "14/15421/3294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15421/3294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15421 ÷ 214
    15421 ÷ 16384     		x = 0.94122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3294 ÷ 214
    3294 ÷ 16384     		y = 0.2010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94122314453125 × 2 - 1) × π
    0.8824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77228678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2010498046875 × 2 - 1) × π
    0.597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87835947471228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77228678} λ = 2.77228678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87835947471228))-π/2
    2×atan(6.54276248572092)-π/2
    2×1.41912941236387-π/2
    2.83825882472775-1.57079632675     		φ = 1.26746250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77228678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26746250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.620252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15421 KachelY 3294 2.77228678 1.26746250 158.840332 72.620252
    Oben rechts KachelX + 1 15422 KachelY 3294 2.77267027 1.26746250 158.862304 72.620252
    Unten links KachelX 15421 KachelY + 1 3295 2.77228678 1.26734793 158.840332 72.613688
    Unten rechts KachelX + 1 15422 KachelY + 1 3295 2.77267027 1.26734793 158.862304 72.613688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26746250-1.26734793) × R
    0.000114570000000036 × 6371000     		dl = 729.92547000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26746250-1.26734793) × R
    0.000114570000000036 × 6371000     		dr = 729.92547000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77228678-2.77267027) × cos(1.26746250) × R
    0.000383489999999931 × 0.29870348488364 × 6371000     		do = 729.79677209212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77228678-2.77267027) × cos(1.26734793) × R
    0.000383489999999931 × 0.29881282234061 × 6371000     		du = 730.06390698409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26746250)-sin(1.26734793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29870348488364-0.29881282234061)×R²
    abs(2.77267027-2.77228678)×0.000109337456969949×R²
    0.000383489999999931×0.000109337456969949×6371000²
    0.000383489999999931×0.000109337456969949×40589641000000     		ar = 532794.746737418m²