Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15420 / 3293
↖ ↑ ↗
← N 72.626814°
E158.818359°		 ← 729.55 m → N 72.626814°
E158.840332°		 →
↑
729.67 m
↓
↑
729.67 m
↓
N 72.620252°
E158.818359°		 ← 729.82 m →
532 428 m²		 N 72.620252°
E158.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941192626953125 y=0.201019287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941192626953125 × 214)
    floor (0.941192626953125 × 16384)
    floor (15420.5)     		tx = 15420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201019287109375 × 214)
    floor (0.201019287109375 × 16384)
    floor (3293.5)     		ty = 3293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15420 / 3293 ti = "14/15420/3293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15420/3293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15420 ÷ 214
    15420 ÷ 16384     		x = 0.941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3293 ÷ 214
    3293 ÷ 16384     		y = 0.20098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941162109375 × 2 - 1) × π
    0.88232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.77190328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20098876953125 × 2 - 1) × π
    0.5980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87874296990924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77190328} λ = 2.77190328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87874296990924))-π/2
    2×atan(6.54527208488791)-π/2
    2×1.41918667756021-π/2
    2.83837335512042-1.57079632675     		φ = 1.26757703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77190328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26757703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.626814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15420 KachelY 3293 2.77190328 1.26757703 158.818359 72.626814
    Oben rechts KachelX + 1 15421 KachelY 3293 2.77228678 1.26757703 158.840332 72.626814
    Unten links KachelX 15420 KachelY + 1 3294 2.77190328 1.26746250 158.818359 72.620252
    Unten rechts KachelX + 1 15421 KachelY + 1 3294 2.77228678 1.26746250 158.840332 72.620252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26757703-1.26746250) × R
    0.000114530000000057 × 6371000     		dl = 729.670630000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26757703-1.26746250) × R
    0.000114530000000057 × 6371000     		dr = 729.670630000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77190328-2.77228678) × cos(1.26757703) × R
    0.00038349999999987 × 0.298594181681011 × 6371000     		do = 729.54874432606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77190328-2.77228678) × cos(1.26746250) × R
    0.00038349999999987 × 0.29870348488364 × 6371000     		du = 729.815802491026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26757703)-sin(1.26746250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298594181681011-0.29870348488364)×R²
    abs(2.77228678-2.77190328)×0.000109303202629807×R²
    0.00038349999999987×0.000109303202629807×6371000²
    0.00038349999999987×0.000109303202629807×40589641000000     		ar = 532427.724720757m²