Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15420 / 10222
↖ ↑ ↗
← N 55.887635°
W 10.590820°		 ← 685.08 m → N 55.887635°
W 10.579834°		 →
↑
685.14 m
↓
↑
685.14 m
↓
N 55.881474°
W 10.590820°		 ← 685.19 m →
469 412 m²		 N 55.881474°
W 10.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470596313476562 y=0.311965942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470596313476562 × 215)
    floor (0.470596313476562 × 32768)
    floor (15420.5)     		tx = 15420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311965942382812 × 215)
    floor (0.311965942382812 × 32768)
    floor (10222.5)     		ty = 10222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15420 / 10222 ti = "15/15420/10222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15420/10222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15420 ÷ 215
    15420 ÷ 32768     		x = 0.4705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10222 ÷ 215
    10222 ÷ 32768     		y = 0.31195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18484468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31195068359375 × 2 - 1) × π
    0.3760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18154870183514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18484468} λ = -0.18484468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18154870183514))-π/2
    2×atan(3.2594181629769)-π/2
    2×1.27310978823296-π/2
    2.54621957646591-1.57079632675     		φ = 0.97542325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18484468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97542325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.887635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15420 KachelY 10222 -0.18484468 0.97542325 -10.590820 55.887635
    Oben rechts KachelX + 1 15421 KachelY 10222 -0.18465294 0.97542325 -10.579834 55.887635
    Unten links KachelX 15420 KachelY + 1 10223 -0.18484468 0.97531571 -10.590820 55.881474
    Unten rechts KachelX + 1 15421 KachelY + 1 10223 -0.18465294 0.97531571 -10.579834 55.881474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97542325-0.97531571) × R
    0.000107540000000017 × 6371000     		dl = 685.137340000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97542325-0.97531571) × R
    0.000107540000000017 × 6371000     		dr = 685.137340000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18484468--0.18465294) × cos(0.97542325) × R
    0.000191740000000024 × 0.560817678471655 × 6371000     		do = 685.081158420642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18484468--0.18465294) × cos(0.97531571) × R
    0.000191740000000024 × 0.560906711823973 × 6371000     		du = 685.189919386078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97542325)-sin(0.97531571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560817678471655-0.560906711823973)×R²
    abs(-0.18465294--0.18484468)×8.90333523180242e-05×R²
    0.000191740000000024×8.90333523180242e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.90333523180242e-05×40589641000000     		ar = 469411.941115843m²