Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15419 / 3142
↖ ↑ ↗
← N 73.590586°
E158.796387°		 ← 690.21 m → N 73.590586°
E158.818359°		 →
↑
690.36 m
↓
↑
690.36 m
↓
N 73.584378°
E158.796387°		 ← 690.46 m →
476 579 m²		 N 73.584378°
E158.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941131591796875 y=0.191802978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941131591796875 × 214)
    floor (0.941131591796875 × 16384)
    floor (15419.5)     		tx = 15419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191802978515625 × 214)
    floor (0.191802978515625 × 16384)
    floor (3142.5)     		ty = 3142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15419 / 3142 ti = "14/15419/3142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15419/3142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15419 ÷ 214
    15419 ÷ 16384     		x = 0.94110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3142 ÷ 214
    3142 ÷ 16384     		y = 0.1917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94110107421875 × 2 - 1) × π
    0.8822021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.77151979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1917724609375 × 2 - 1) × π
    0.616455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93665074465027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77151979} λ = 2.77151979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93665074465027))-π/2
    2×atan(6.9354833231183)-π/2
    2×1.42759717843564-π/2
    2.85519435687128-1.57079632675     		φ = 1.28439803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77151979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.796387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28439803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.590586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15419 KachelY 3142 2.77151979 1.28439803 158.796387 73.590586
    Oben rechts KachelX + 1 15420 KachelY 3142 2.77190328 1.28439803 158.818359 73.590586
    Unten links KachelX 15419 KachelY + 1 3143 2.77151979 1.28428967 158.796387 73.584378
    Unten rechts KachelX + 1 15420 KachelY + 1 3143 2.77190328 1.28428967 158.818359 73.584378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28439803-1.28428967) × R
    0.00010836000000003 × 6371000     		dl = 690.361560000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28439803-1.28428967) × R
    0.00010836000000003 × 6371000     		dr = 690.361560000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77151979-2.77190328) × cos(1.28439803) × R
    0.000383489999999931 × 0.282499067806856 × 6371000     		do = 690.205900626798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77151979-2.77190328) × cos(1.28428967) × R
    0.000383489999999931 × 0.282603012382331 × 6371000     		du = 690.459859550939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28439803)-sin(1.28428967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282499067806856-0.282603012382331)×R²
    abs(2.77190328-2.77151979)×0.000103944575474912×R²
    0.000383489999999931×0.000103944575474912×6371000²
    0.000383489999999931×0.000103944575474912×40589641000000     		ar = 476579.28448377m²