Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15419 / 10229
↖ ↑ ↗
← N 55.844482°
W 10.601806°		 ← 685.88 m → N 55.844482°
W 10.590820°		 →
↑
685.90 m
↓
↑
685.90 m
↓
N 55.838314°
W 10.601806°		 ← 685.99 m →
470 483 m²		 N 55.838314°
W 10.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470565795898438 y=0.312179565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470565795898438 × 215)
    floor (0.470565795898438 × 32768)
    floor (15419.5)     		tx = 15419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312179565429688 × 215)
    floor (0.312179565429688 × 32768)
    floor (10229.5)     		ty = 10229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15419 / 10229 ti = "15/15419/10229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15419/10229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15419 ÷ 215
    15419 ÷ 32768     		x = 0.470550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10229 ÷ 215
    10229 ÷ 32768     		y = 0.312164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.05889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18503643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312164306640625 × 2 - 1) × π
    0.37567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18020646864578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18503643} λ = -0.18503643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18020646864578))-π/2
    2×atan(3.25504619849483)-π/2
    2×1.27273320501035-π/2
    2.5454664100207-1.57079632675     		φ = 0.97467008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18503643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.601806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97467008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.844482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15419 KachelY 10229 -0.18503643 0.97467008 -10.601806 55.844482
    Oben rechts KachelX + 1 15420 KachelY 10229 -0.18484468 0.97467008 -10.590820 55.844482
    Unten links KachelX 15419 KachelY + 1 10230 -0.18503643 0.97456242 -10.601806 55.838314
    Unten rechts KachelX + 1 15420 KachelY + 1 10230 -0.18484468 0.97456242 -10.590820 55.838314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97467008-0.97456242) × R
    0.000107659999999954 × 6371000     		dl = 685.901859999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97467008-0.97456242) × R
    0.000107659999999954 × 6371000     		dr = 685.901859999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18503643--0.18484468) × cos(0.97467008) × R
    0.000191749999999991 × 0.561441098410544 × 6371000     		do = 685.8784823814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18503643--0.18484468) × cos(0.97456242) × R
    0.000191749999999991 × 0.561530185604829 × 6371000     		du = 685.98731479461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97467008)-sin(0.97456242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561441098410544-0.561530185604829)×R²
    abs(-0.18484468--0.18503643)×8.90871942846871e-05×R²
    0.000191749999999991×8.90871942846871e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.90871942846871e-05×40589641000000     		ar = 470482.651430583m²