Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15418 / 21186
↖ ↑ ↗
← N 76.392019°
W137.653199°		 ← 71.86 m → N 76.392019°
W137.650452°		 →
↑
71.86 m
↓
↑
71.86 m
↓
N 76.391373°
W137.653199°		 ← 71.86 m →
5 164 m²		 N 76.391373°
W137.650452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117633819580078 y=0.161640167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117633819580078 × 217)
    floor (0.117633819580078 × 131072)
    floor (15418.5)     		tx = 15418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161640167236328 × 217)
    floor (0.161640167236328 × 131072)
    floor (21186.5)     		ty = 21186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15418 / 21186 ti = "17/15418/21186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15418/21186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15418 ÷ 217
    15418 ÷ 131072     		x = 0.117630004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21186 ÷ 217
    21186 ÷ 131072     		y = 0.161636352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117630004882812 × 2 - 1) × π
    -0.764739990234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.40250154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161636352539062 × 2 - 1) × π
    0.676727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12600149814949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40250154} λ = -2.40250154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12600149814949))-π/2
    2×atan(8.38128712987161)-π/2
    2×1.45204429294804-π/2
    2.90408858589608-1.57079632675     		φ = 1.33329226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40250154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.653199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33329226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.392019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15418 KachelY 21186 -2.40250154 1.33329226 -137.653199 76.392019
    Oben rechts KachelX + 1 15419 KachelY 21186 -2.40245360 1.33329226 -137.650452 76.392019
    Unten links KachelX 15418 KachelY + 1 21187 -2.40250154 1.33328098 -137.653199 76.391373
    Unten rechts KachelX + 1 15419 KachelY + 1 21187 -2.40245360 1.33328098 -137.650452 76.391373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33329226-1.33328098) × R
    1.12799999998359e-05 × 6371000     		dl = 71.8648799989543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33329226-1.33328098) × R
    1.12799999998359e-05 × 6371000     		dr = 71.8648799989543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40250154--2.40245360) × cos(1.33329226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235277493833955 × 6371000     		do = 71.8598026595341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40250154--2.40245360) × cos(1.33328098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235288457169517 × 6371000     		du = 71.863151144411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33329226)-sin(1.33328098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235277493833955-0.235288457169517)×R²
    abs(-2.40245360--2.40250154)×1.09633355623029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09633355623029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09633355623029e-05×40589641000000     		ar = 5164.31641414777m²