Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15417 / 21183
↖ ↑ ↗
← N 76.393958°
W137.655945°		 ← 71.83 m → N 76.393958°
W137.653199°		 →
↑
71.80 m
↓
↑
71.80 m
↓
N 76.393312°
W137.655945°		 ← 71.84 m →
5 158 m²		 N 76.393312°
W137.653199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117626190185547 y=0.161617279052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117626190185547 × 217)
    floor (0.117626190185547 × 131072)
    floor (15417.5)     		tx = 15417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161617279052734 × 217)
    floor (0.161617279052734 × 131072)
    floor (21183.5)     		ty = 21183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15417 / 21183 ti = "17/15417/21183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15417/21183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15417 ÷ 217
    15417 ÷ 131072     		x = 0.117622375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21183 ÷ 217
    21183 ÷ 131072     		y = 0.161613464355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117622375488281 × 2 - 1) × π
    -0.764755249023438 × 3.1415926535     		Λ = -2.40254947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161613464355469 × 2 - 1) × π
    0.676773071289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.12614530884835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40254947} λ = -2.40254947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12614530884835))-π/2
    2×atan(8.38249253530412)-π/2
    2×1.45206120947624-π/2
    2.90412241895247-1.57079632675     		φ = 1.33332609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40254947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.655945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33332609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.393958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15417 KachelY 21183 -2.40254947 1.33332609 -137.655945 76.393958
    Oben rechts KachelX + 1 15418 KachelY 21183 -2.40250154 1.33332609 -137.653199 76.393958
    Unten links KachelX 15417 KachelY + 1 21184 -2.40254947 1.33331482 -137.655945 76.393312
    Unten rechts KachelX + 1 15418 KachelY + 1 21184 -2.40250154 1.33331482 -137.653199 76.393312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33332609-1.33331482) × R
    1.12699999998966e-05 × 6371000     		dl = 71.8011699993415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33332609-1.33331482) × R
    1.12699999998966e-05 × 6371000     		dr = 71.8011699993415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40254947--2.40250154) × cos(1.33332609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.235244613367017 × 6371000     		do = 71.8347726843615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40254947--2.40250154) × cos(1.33331482) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.235255567073022 × 6371000     		du = 71.8381175302633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33332609)-sin(1.33331482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235244613367017-0.235255567073022)×R²
    abs(-2.40250154--2.40254947)×1.09537060052067e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.09537060052067e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.09537060052067e-05×40589641000000     		ar = 5157.94080724738m²