Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15416 / 21182
↖ ↑ ↗
← N 76.394604°
W137.658691°		 ← 71.85 m → N 76.394604°
W137.655945°		 →
↑
71.86 m
↓
↑
71.86 m
↓
N 76.393958°
W137.658691°		 ← 71.85 m →
5 163 m²		 N 76.393958°
W137.655945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117618560791016 y=0.161609649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117618560791016 × 217)
    floor (0.117618560791016 × 131072)
    floor (15416.5)     		tx = 15416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161609649658203 × 217)
    floor (0.161609649658203 × 131072)
    floor (21182.5)     		ty = 21182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15416 / 21182 ti = "17/15416/21182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15416/21182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15416 ÷ 217
    15416 ÷ 131072     		x = 0.11761474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21182 ÷ 217
    21182 ÷ 131072     		y = 0.161605834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.7647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.40259741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161605834960938 × 2 - 1) × π
    0.676788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12619324574797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40259741} λ = -2.40259741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12619324574797))-π/2
    2×atan(8.38289437563876)-π/2
    2×1.45206684779354-π/2
    2.90413369558709-1.57079632675     		φ = 1.33333737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40259741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.658691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33333737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.394604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15416 KachelY 21182 -2.40259741 1.33333737 -137.658691 76.394604
    Oben rechts KachelX + 1 15417 KachelY 21182 -2.40254947 1.33333737 -137.655945 76.394604
    Unten links KachelX 15416 KachelY + 1 21183 -2.40259741 1.33332609 -137.658691 76.393958
    Unten rechts KachelX + 1 15417 KachelY + 1 21183 -2.40254947 1.33332609 -137.655945 76.393958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33333737-1.33332609) × R
    1.12800000000579e-05 × 6371000     		dl = 71.8648800003689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33333737-1.33332609) × R
    1.12800000000579e-05 × 6371000     		dr = 71.8648800003689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40259741--2.40254947) × cos(1.33333737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235233649911744 × 6371000     		do = 71.8464115971483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40259741--2.40254947) × cos(1.33332609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235244613367017 × 6371000     		du = 71.849760118588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33333737)-sin(1.33332609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235233649911744-0.235244613367017)×R²
    abs(-2.40254947--2.40259741)×1.09634552729332e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09634552729332e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09634552729332e-05×40589641000000     		ar = 5163.3540684481m²