Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15416 / 10242
↖ ↑ ↗
← N 55.764213°
W 10.634766°		 ← 687.29 m → N 55.764213°
W 10.623779°		 →
↑
687.30 m
↓
↑
687.30 m
↓
N 55.758032°
W 10.634766°		 ← 687.40 m →
472 417 m²		 N 55.758032°
W 10.623779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470474243164062 y=0.312576293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470474243164062 × 215)
    floor (0.470474243164062 × 32768)
    floor (15416.5)     		tx = 15416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312576293945312 × 215)
    floor (0.312576293945312 × 32768)
    floor (10242.5)     		ty = 10242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15416 / 10242 ti = "15/15416/10242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15416/10242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15416 ÷ 215
    15416 ÷ 32768     		x = 0.470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10242 ÷ 215
    10242 ÷ 32768     		y = 0.31256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.05908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18561168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31256103515625 × 2 - 1) × π
    0.3748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17771374986554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18561168} λ = -0.18561168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17771374986554))-π/2
    2×atan(3.24694238816158)-π/2
    2×1.27203272564317-π/2
    2.54406545128634-1.57079632675     		φ = 0.97326912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18561168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97326912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.764213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15416 KachelY 10242 -0.18561168 0.97326912 -10.634766 55.764213
    Oben rechts KachelX + 1 15417 KachelY 10242 -0.18541993 0.97326912 -10.623779 55.764213
    Unten links KachelX 15416 KachelY + 1 10243 -0.18561168 0.97316124 -10.634766 55.758032
    Unten rechts KachelX + 1 15417 KachelY + 1 10243 -0.18541993 0.97316124 -10.623779 55.758032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97326912-0.97316124) × R
    0.000107879999999949 × 6371000     		dl = 687.303479999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97326912-0.97316124) × R
    0.000107879999999949 × 6371000     		dr = 687.303479999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18561168--0.18541993) × cos(0.97326912) × R
    0.000191749999999991 × 0.562599864863911 × 6371000     		do = 687.294076962416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18561168--0.18541993) × cos(0.97316124) × R
    0.000191749999999991 × 0.562689049150518 × 6371000     		du = 687.403027987418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97326912)-sin(0.97316124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562599864863911-0.562689049150518)×R²
    abs(-0.18541993--0.18561168)×8.91842866070913e-05×R²
    0.000191749999999991×8.91842866070913e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.91842866070913e-05×40589641000000     		ar = 472417.052546417m²