Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15416 / 10176
↖ ↑ ↗
← N 56.170023°
W 10.634766°		 ← 680.12 m → N 56.170023°
W 10.623779°		 →
↑
680.17 m
↓
↑
680.17 m
↓
N 56.163906°
W 10.634766°		 ← 680.23 m →
462 635 m²		 N 56.163906°
W 10.623779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470474243164062 y=0.310562133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470474243164062 × 215)
    floor (0.470474243164062 × 32768)
    floor (15416.5)     		tx = 15416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310562133789062 × 215)
    floor (0.310562133789062 × 32768)
    floor (10176.5)     		ty = 10176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15416 / 10176 ti = "15/15416/10176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15416/10176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15416 ÷ 215
    15416 ÷ 32768     		x = 0.470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10176 ÷ 215
    10176 ÷ 32768     		y = 0.310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.05908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18561168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310546875 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19036909136523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18561168} λ = -0.18561168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19036909136523))-π/2
    2×atan(3.2882946645981)-π/2
    2×1.2755740843745-π/2
    2.55114816874901-1.57079632675     		φ = 0.98035184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18561168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98035184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.170023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15416 KachelY 10176 -0.18561168 0.98035184 -10.634766 56.170023
    Oben rechts KachelX + 1 15417 KachelY 10176 -0.18541993 0.98035184 -10.623779 56.170023
    Unten links KachelX 15416 KachelY + 1 10177 -0.18561168 0.98024508 -10.634766 56.163906
    Unten rechts KachelX + 1 15417 KachelY + 1 10177 -0.18541993 0.98024508 -10.623779 56.163906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98035184-0.98024508) × R
    0.000106759999999984 × 6371000     		dl = 680.167959999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98035184-0.98024508) × R
    0.000106759999999984 × 6371000     		dr = 680.167959999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18561168--0.18541993) × cos(0.98035184) × R
    0.000191749999999991 × 0.556730310100116 × 6371000     		do = 680.12359848294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18561168--0.18541993) × cos(0.98024508) × R
    0.000191749999999991 × 0.556818991744136 × 6371000     		du = 680.231935460029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98035184)-sin(0.98024508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556730310100116-0.556818991744136)×R²
    abs(-0.18541993--0.18561168)×8.86816440202054e-05×R²
    0.000191749999999991×8.86816440202054e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.86816440202054e-05×40589641000000     		ar = 462635.124637868m²