Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15415 / 21199
↖ ↑ ↗
← N 76.383616°
W137.661438°		 ← 71.90 m → N 76.383616°
W137.658691°		 →
↑
71.86 m
↓
↑
71.86 m
↓
N 76.382969°
W137.661438°		 ← 71.91 m →
5 167 m²		 N 76.382969°
W137.658691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117610931396484 y=0.161739349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117610931396484 × 217)
    floor (0.117610931396484 × 131072)
    floor (15415.5)     		tx = 15415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161739349365234 × 217)
    floor (0.161739349365234 × 131072)
    floor (21199.5)     		ty = 21199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15415 / 21199 ti = "17/15415/21199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15415/21199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15415 ÷ 217
    15415 ÷ 131072     		x = 0.117607116699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21199 ÷ 217
    21199 ÷ 131072     		y = 0.161735534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117607116699219 × 2 - 1) × π
    -0.764785766601562 × 3.1415926535     		Λ = -2.40264535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161735534667969 × 2 - 1) × π
    0.676528930664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.12537831845443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40264535} λ = -2.40264535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12537831845443))-π/2
    2×atan(8.3760657090245)-π/2
    2×1.45197096066367-π/2
    2.90394192132735-1.57079632675     		φ = 1.33314559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40264535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.661438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33314559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.383616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15415 KachelY 21199 -2.40264535 1.33314559 -137.661438 76.383616
    Oben rechts KachelX + 1 15416 KachelY 21199 -2.40259741 1.33314559 -137.658691 76.383616
    Unten links KachelX 15415 KachelY + 1 21200 -2.40264535 1.33313431 -137.661438 76.382969
    Unten rechts KachelX + 1 15416 KachelY + 1 21200 -2.40259741 1.33313431 -137.658691 76.382969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33314559-1.33313431) × R
    1.12800000000579e-05 × 6371000     		dl = 71.8648800003689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33314559-1.33313431) × R
    1.12800000000579e-05 × 6371000     		dr = 71.8648800003689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40264535--2.40259741) × cos(1.33314559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235420044017537 × 6371000     		do = 71.9033411548417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40264535--2.40259741) × cos(1.33313431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235431006963721 × 6371000     		du = 71.9066895207924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33314559)-sin(1.33313431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235420044017537-0.235431006963721)×R²
    abs(-2.40259741--2.40264535)×1.09629461835792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09629461835792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09629461835792e-05×40589641000000     		ar = 5167.44529861212m²