Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15414 / 3154
↖ ↑ ↗
← N 73.515935°
E158.686523°		 ← 693.28 m → N 73.515935°
E158.708496°		 →
↑
693.36 m
↓
↑
693.36 m
↓
N 73.509699°
E158.686523°		 ← 693.53 m →
480 776 m²		 N 73.509699°
E158.708496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940826416015625 y=0.192535400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940826416015625 × 214)
    floor (0.940826416015625 × 16384)
    floor (15414.5)     		tx = 15414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192535400390625 × 214)
    floor (0.192535400390625 × 16384)
    floor (3154.5)     		ty = 3154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15414 / 3154 ti = "14/15414/3154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15414/3154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15414 ÷ 214
    15414 ÷ 16384     		x = 0.9407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3154 ÷ 214
    3154 ÷ 16384     		y = 0.1925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9407958984375 × 2 - 1) × π
    0.881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76960231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1925048828125 × 2 - 1) × π
    0.614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93204880228674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76960231} λ = 2.76960231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93204880228674))-π/2
    2×atan(6.90363995547129)-π/2
    2×1.42694571953284-π/2
    2.85389143906568-1.57079632675     		φ = 1.28309511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76960231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.686523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28309511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.515935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15414 KachelY 3154 2.76960231 1.28309511 158.686523 73.515935
    Oben rechts KachelX + 1 15415 KachelY 3154 2.76998581 1.28309511 158.708496 73.515935
    Unten links KachelX 15414 KachelY + 1 3155 2.76960231 1.28298628 158.686523 73.509699
    Unten rechts KachelX + 1 15415 KachelY + 1 3155 2.76998581 1.28298628 158.708496 73.509699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28309511-1.28298628) × R
    0.00010883000000006 × 6371000     		dl = 693.35593000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28309511-1.28298628) × R
    0.00010883000000006 × 6371000     		dr = 693.35593000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76960231-2.76998581) × cos(1.28309511) × R
    0.000383500000000314 × 0.283748676574249 × 6371000     		do = 693.277040877885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76960231-2.76998581) × cos(1.28298628) × R
    0.000383500000000314 × 0.283853031837602 × 6371000     		du = 693.532009849197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28309511)-sin(1.28298628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283748676574249-0.283853031837602)×R²
    abs(2.76998581-2.76960231)×0.000104355263352784×R²
    0.000383500000000314×0.000104355263352784×6371000²
    0.000383500000000314×0.000104355263352784×40589641000000     		ar = 480776.14002471m²