Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15414 / 13334
↖ ↑ ↗
← N 72.359119°
W 95.328369°		 ← 185.10 m → N 72.359119°
W 95.322876°		 →
↑
185.08 m
↓
↑
185.08 m
↓
N 72.357455°
W 95.328369°		 ← 185.12 m →
34 259 m²		 N 72.357455°
W 95.322876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.235206604003906 y=0.203468322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.235206604003906 × 216)
    floor (0.235206604003906 × 65536)
    floor (15414.5)     		tx = 15414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203468322753906 × 216)
    floor (0.203468322753906 × 65536)
    floor (13334.5)     		ty = 13334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15414 / 13334 ti = "16/15414/13334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15414/13334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15414 ÷ 216
    15414 ÷ 65536     		x = 0.235198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13334 ÷ 216
    13334 ÷ 65536     		y = 0.203460693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.235198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.52960205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.66379391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203460693359375 × 2 - 1) × π
    0.59307861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.86321141443234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66379391} λ = -1.66379391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86321141443234))-π/2
    2×atan(6.44439921247921)-π/2
    2×1.41685059882006-π/2
    2.83370119764012-1.57079632675     		φ = 1.26290487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66379391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.328369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26290487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.359119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15414 KachelY 13334 -1.66379391 1.26290487 -95.328369 72.359119
    Oben rechts KachelX + 1 15415 KachelY 13334 -1.66369804 1.26290487 -95.322876 72.359119
    Unten links KachelX 15414 KachelY + 1 13335 -1.66379391 1.26287582 -95.328369 72.357455
    Unten rechts KachelX + 1 15415 KachelY + 1 13335 -1.66369804 1.26287582 -95.322876 72.357455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26290487-1.26287582) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dl = 185.07754999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26290487-1.26287582) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dr = 185.07754999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66379391--1.66369804) × cos(1.26290487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.303049923315459 × 6371000     		do = 185.099186860516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66379391--1.66369804) × cos(1.26287582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.303077607102086 × 6371000     		du = 185.116095778815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26290487)-sin(1.26287582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303049923315459-0.303077607102086)×R²
    abs(-1.66369804--1.66379391)×2.76837866274304e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76837866274304e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76837866274304e-05×40589641000000     		ar = 34259.2687440111m²