Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15413 / 3152
↖ ↑ ↗
← N 73.528399°
E158.664551°		 ← 692.75 m → N 73.528399°
E158.686523°		 →
↑
692.85 m
↓
↑
692.85 m
↓
N 73.522168°
E158.664551°		 ← 693 m →
480 057 m²		 N 73.522168°
E158.686523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940765380859375 y=0.192413330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940765380859375 × 214)
    floor (0.940765380859375 × 16384)
    floor (15413.5)     		tx = 15413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192413330078125 × 214)
    floor (0.192413330078125 × 16384)
    floor (3152.5)     		ty = 3152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15413 / 3152 ti = "14/15413/3152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15413/3152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15413 ÷ 214
    15413 ÷ 16384     		x = 0.94073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3152 ÷ 214
    3152 ÷ 16384     		y = 0.1923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94073486328125 × 2 - 1) × π
    0.8814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76921882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1923828125 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76921882} λ = 2.76921882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93281579268066))-π/2
    2×atan(6.90893701213633)-π/2
    2×1.42705449578023-π/2
    2.85410899156047-1.57079632675     		φ = 1.28331266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76921882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.664551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28331266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.528399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15413 KachelY 3152 2.76921882 1.28331266 158.664551 73.528399
    Oben rechts KachelX + 1 15414 KachelY 3152 2.76960231 1.28331266 158.686523 73.528399
    Unten links KachelX 15413 KachelY + 1 3153 2.76921882 1.28320391 158.664551 73.522168
    Unten rechts KachelX + 1 15414 KachelY + 1 3153 2.76960231 1.28320391 158.686523 73.522168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28331266-1.28320391) × R
    0.000108750000000102 × 6371000     		dl = 692.846250000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28331266-1.28320391) × R
    0.000108750000000102 × 6371000     		dr = 692.846250000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76921882-2.76960231) × cos(1.28331266) × R
    0.000383489999999931 × 0.283540061452293 × 6371000     		do = 692.749271697627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76921882-2.76960231) × cos(1.28320391) × R
    0.000383489999999931 × 0.283644346718073 × 6371000     		du = 693.004063001359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28331266)-sin(1.28320391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283540061452293-0.283644346718073)×R²
    abs(2.76960231-2.76921882)×0.000104285265779602×R²
    0.000383489999999931×0.000104285265779602×6371000²
    0.000383489999999931×0.000104285265779602×40589641000000     		ar = 480057.001159281m²