Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15412 / 10165
↖ ↑ ↗
← N 56.237245°
W 10.678711°		 ← 678.93 m → N 56.237245°
W 10.667725°		 →
↑
678.96 m
↓
↑
678.96 m
↓
N 56.231139°
W 10.678711°		 ← 679.04 m →
461 003 m²		 N 56.231139°
W 10.667725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470352172851562 y=0.310226440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470352172851562 × 215)
    floor (0.470352172851562 × 32768)
    floor (15412.5)     		tx = 15412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310226440429688 × 215)
    floor (0.310226440429688 × 32768)
    floor (10165.5)     		ty = 10165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15412 / 10165 ti = "15/15412/10165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15412/10165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15412 ÷ 215
    15412 ÷ 32768     		x = 0.4703369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10165 ÷ 215
    10165 ÷ 32768     		y = 0.310211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4703369140625 × 2 - 1) × π
    -0.059326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18637867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310211181640625 × 2 - 1) × π
    0.37957763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19247831494852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18637867} λ = -0.18637867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19247831494852))-π/2
    2×atan(3.29523773292114)-π/2
    2×1.27616070452392-π/2
    2.55232140904785-1.57079632675     		φ = 0.98152508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18637867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98152508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.237245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15412 KachelY 10165 -0.18637867 0.98152508 -10.678711 56.237245
    Oben rechts KachelX + 1 15413 KachelY 10165 -0.18618692 0.98152508 -10.667725 56.237245
    Unten links KachelX 15412 KachelY + 1 10166 -0.18637867 0.98141851 -10.678711 56.231139
    Unten rechts KachelX + 1 15413 KachelY + 1 10166 -0.18618692 0.98141851 -10.667725 56.231139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98152508-0.98141851) × R
    0.000106570000000028 × 6371000     		dl = 678.957470000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98152508-0.98141851) × R
    0.000106570000000028 × 6371000     		dr = 678.957470000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18637867--0.18618692) × cos(0.98152508) × R
    0.000191749999999991 × 0.555755324546795 × 6371000     		do = 678.93251786282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18637867--0.18618692) × cos(0.98141851) × R
    0.000191749999999991 × 0.555843917924172 × 6371000     		du = 679.040747009914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98152508)-sin(0.98141851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555755324546795-0.555843917924172)×R²
    abs(-0.18618692--0.18637867)×8.85933773767666e-05×R²
    0.000191749999999991×8.85933773767666e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.85933773767666e-05×40589641000000     		ar = 461003.046559784m²