Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15410 / 8659
↖ ↑ ↗
← N 64.382692°
W 10.700684°		 ← 528.19 m → N 64.382692°
W 10.689697°		 →
↑
528.22 m
↓
↑
528.22 m
↓
N 64.377941°
W 10.700684°		 ← 528.28 m →
279 022 m²		 N 64.377941°
W 10.689697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470291137695312 y=0.264266967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470291137695312 × 215)
    floor (0.470291137695312 × 32768)
    floor (15410.5)     		tx = 15410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264266967773438 × 215)
    floor (0.264266967773438 × 32768)
    floor (8659.5)     		ty = 8659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15410 / 8659 ti = "15/15410/8659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15410/8659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15410 ÷ 215
    15410 ÷ 32768     		x = 0.47027587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8659 ÷ 215
    8659 ÷ 32768     		y = 0.264251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18676216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264251708984375 × 2 - 1) × π
    0.47149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48125019825974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18676216} λ = -0.18676216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48125019825974))-π/2
    2×atan(4.39844116847286)-π/2
    2×1.34724313641856-π/2
    2.69448627283713-1.57079632675     		φ = 1.12368995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18676216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.700684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12368995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.382692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15410 KachelY 8659 -0.18676216 1.12368995 -10.700684 64.382692
    Oben rechts KachelX + 1 15411 KachelY 8659 -0.18657041 1.12368995 -10.689697 64.382692
    Unten links KachelX 15410 KachelY + 1 8660 -0.18676216 1.12360704 -10.700684 64.377941
    Unten rechts KachelX + 1 15411 KachelY + 1 8660 -0.18657041 1.12360704 -10.689697 64.377941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12368995-1.12360704) × R
    8.29099999999361e-05 × 6371000     		dl = 528.219609999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12368995-1.12360704) × R
    8.29099999999361e-05 × 6371000     		dr = 528.219609999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18676216--0.18657041) × cos(1.12368995) × R
    0.000191750000000018 × 0.432358162123014 × 6371000     		do = 528.185700907388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18676216--0.18657041) × cos(1.12360704) × R
    0.000191750000000018 × 0.432432920746171 × 6371000     		du = 528.277028975712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12368995)-sin(1.12360704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432358162123014-0.432432920746171)×R²
    abs(-0.18657041--0.18676216)×7.47586231572561e-05×R²
    0.000191750000000018×7.47586231572561e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.47586231572561e-05×40589641000000     		ar = 279022.16573831m²