Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15410 / 8510
↖ ↑ ↗
← N 65.081390°
W 10.700684°		 ← 514.71 m → N 65.081390°
W 10.689697°		 →
↑
514.78 m
↓
↑
514.78 m
↓
N 65.076760°
W 10.700684°		 ← 514.80 m →
264 986 m²		 N 65.076760°
W 10.689697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470291137695312 y=0.259719848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470291137695312 × 215)
    floor (0.470291137695312 × 32768)
    floor (15410.5)     		tx = 15410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259719848632812 × 215)
    floor (0.259719848632812 × 32768)
    floor (8510.5)     		ty = 8510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15410 / 8510 ti = "15/15410/8510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15410/8510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15410 ÷ 215
    15410 ÷ 32768     		x = 0.47027587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8510 ÷ 215
    8510 ÷ 32768     		y = 0.25970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18676216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25970458984375 × 2 - 1) × π
    0.4805908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50982059043329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18676216} λ = -0.18676216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50982059043329))-π/2
    2×atan(4.52591872835221)-π/2
    2×1.35334042717347-π/2
    2.70668085434693-1.57079632675     		φ = 1.13588453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18676216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.700684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13588453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.081390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15410 KachelY 8510 -0.18676216 1.13588453 -10.700684 65.081390
    Oben rechts KachelX + 1 15411 KachelY 8510 -0.18657041 1.13588453 -10.689697 65.081390
    Unten links KachelX 15410 KachelY + 1 8511 -0.18676216 1.13580373 -10.700684 65.076760
    Unten rechts KachelX + 1 15411 KachelY + 1 8511 -0.18657041 1.13580373 -10.689697 65.076760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13588453-1.13580373) × R
    8.0800000000103e-05 × 6371000     		dl = 514.776800000656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13588453-1.13580373) × R
    8.0800000000103e-05 × 6371000     		dr = 514.776800000656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18676216--0.18657041) × cos(1.13588453) × R
    0.000191750000000018 × 0.421330410883163 × 6371000     		do = 514.713767153549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18676216--0.18657041) × cos(1.13580373) × R
    0.000191750000000018 × 0.421403687610175 × 6371000     		du = 514.803284879377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13588453)-sin(1.13580373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421330410883163-0.421403687610175)×R²
    abs(-0.18657041--0.18676216)×7.3276727011462e-05×R²
    0.000191750000000018×7.3276727011462e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.3276727011462e-05×40589641000000     		ar = 264985.7469395m²